Cyrano a écrit:
j’suis bluffé par l’utilisation de Latex par un terminal…
En attendant j’ai fait une erreur.
Un bonbon à celui qui la trouve et a le courage de la corriger. 
merci pour avoir poster la reponse. je n’aurai jamais su penser a ca!
boh.. tu y penseras en prépa 
abaddon59 a écrit:
merci pour avoir poster la reponse. je n’aurai jamais su penser a ca!
De rien ! Mais t’inquiètes pas, je connaissais déjà un peu le « truc ».
L’erreur, c’était juste au début pour la croissance. J’avais mis que : 1-x²=(1+x)(x-1)… 
Tsss les vacances… 
Par contre j’ai pas trop compris ca:
Considérons maintenant Sn (
seule astuce)définie par :
En posant i=k+1, on obtient :
abaddon59 a écrit:
Par contre j’ai pas trop compris ca:
Considérons maintenant Sn (
En posant i=k+1, on obtient :
Changement de variable. Si tu ne comprends pas, ignore et passe seulement au i. C’est moi, qui pour raisonner était parti de ça.
En fait, avec les sommes de riemann(les rectangles, t’sais) t’as les sommes de 0 à n-1 de tout le blabla et de 1 à n qui sont égales à l’intégrales de blabla au voisinage de l’infini.
J’aime bien les maths mais cet exo est un peu baleze pour moi (jrentre seulement en sup a la rentrée)
abaddon59 a écrit:
J’aime bien les maths mais cet exo est un peu baleze pour moi (jrentre seulement en sup a la rentrée)
Il est costaud, mais je l’ai trouvé très interessant. Il demande à la fois de chercher sans être totalement guidé ! Je trouve qu’il reprend pas mal de notions.( je rentre aussi en sup^^)
J’en ai plein d’autres dans mon vieu terracher, stuveux.
oui c’est ca aussi qui un peu destabilisant, mais tu as raison et c’est un excellent moyen pour se forger une intuition mathématique. Tu rentres en sup aussi he ba di donc tu es assez fort si tu as réussi cet exo. Moi je rentre en bcpst donc notre programme de maths sera beaucoup moins important qu’en mpsi mais y’aura de quoi pouvoir bien s’amuser. Je suis preneur d’autres exo si tu en as!
Un qui a l’air sympa(je l’ai pas fait) :
Soit u_n=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^ne^x dx pour n\geq 1.
-
Montrer que :
u_n=\frac{e}{n!}-u_{n-1} -
En déduire par réccurence que :
u_n=(-1)^n\Biggl(e \sum_{k=0}^n\bigl(\frac{(-1)^k}{k!}\bigr)-1\Biggr)
(Rappel : 0!=1) -
Montrer que :
0\leq u_n \leq \frac{e}{(n+1)!} -
En déduire que la suite (p_n) de terme général :
p_n=\sum_{k=0}^n\bigl(\frac{(-1)^k}{k!}\bigr) est telle que :
\lim\nolimits_{n \to \infty} p_n=\frac{1}{e} et |p_n-\frac{1}{e}| \leq \frac{1}{(n+1)!}
miam y’a de quoi faire! 
Merci
abaddon59 a écrit:
Bonjour! Est-ce que quelqu’un peut poster la solution a la question 2) de cet exo svp.
Je n’ai pas franchement vérifié, mais je dirais ln(2)/2…
Snark a écrit:
[quote=« abaddon59 »]
Bonjour! Est-ce que quelqu’un peut poster la solution a la question 2) de cet exo svp.
Je n’ai pas franchement vérifié, mais je dirais ln(2)/2…
[/quote]
Pareil !
Yep, par contre pour ton deuxieme exo j’aimerai bien que tu montre comment t’as fait pour une demo un peu rigoureuse à la deuxieme question..car là j’ai un peu de mal (perdu l’habitude lol).
Azuriel a écrit:
Yep, par contre pour ton deuxieme exo j’aimerai bien que tu montre comment t’as fait pour une demo un peu rigoureuse à la deuxieme question..car là j’ai un peu de mal (perdu l’habitude lol).
Bon, alors quitte à en faire une partie, j’ai envie de tout faire. ;p Je poste ça !
Soit u_n=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^ne^x dx pour n\geq 1.
- Montrer que :
u_n=\frac{e}{n!}-u_{n-1}
Posons u et v intégrable et dérivable une fois au moins sur [0;1],
\forall x\in \mathbb{R}, \begin{cases}u(x)=x^n\\v'(x)=e^x\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}u'(x)=n.x^{n-1}\\v(x)=e^x\end{cases}
Et on a donc :
\begin{tabular}{ r l }\forall n\in \mathbb{N*},u_n=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1} u(x) v'(x)dx =& \ \frac{1}{n!}\left[ u(x) v(x) \right]_{0}^{1} - \frac{1}{n!}\int_{0}^{1} u'(x) v(x) dx \\ & \ = \frac{1}{n!}\bigl( 1^ne^1-0\bigr)-\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}nx^{n-1}e^x dx \\ & \ = \frac{e}{n!}-\frac{n}{n!}\int_{0}^{1}x^{n-1}e^x dx \\ & \ = \frac{e}{n!}-u_{n-1}\\ \end{tabular}
- En déduire par réccurence que :
u_n=(-1)^n\Biggl(e \sum_{k=0}^n\bigl(\frac{(-1)^k}{k!}\bigr)-1\Biggr)
(Rappel : 0!=1)
Au rang n=1, c’est pas trop dûr.
Considérons la propriété vrai au rang n,
Au rang n+1, on a pour tout n>1 :
\begin{tabular}{ r l }u_{n+1}& \ =\frac{e}{(n+1)!}-u_n \\ & \ = \frac{e}{(n+1)!}-e(-1)^n \sum_{k=0}^n\bigl(\frac{(-1)^k}{k!}\bigr)+(-1)^n\\ & \ = e(-1)^{n+1}\Bigl( \sum_{k=0}^n\bigl(\frac{(-1)^k}{k!}\bigr)+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\Bigr)-(-1)^{n+1}\\ & \ = (-1)^{n+1}\Biggl(e \sum_{k=0}^{n+1}\bigl(\frac{(-1)^k}{k!}\bigr)-1\Biggr) \\ \end{tabular}
Ce qui achève la réccurence.
- Montrer que :
0\leq u_n \leq \frac{e}{(n+1)!}
Il est claire que la fonction f définie sur [0;1] par : f(x)=\frac{x^ne^x}{n!} est positive, donc son intégrale l’est sur [0;1], et donc$u_n$ l’est aussi.
D’autre part, d’après 1), u_n=\frac{e}{(n+1)!}-u_{n+1}
Or, -u_{n+1} \leq 0 \Longleftrightarrow u_n=\frac{e}{(n+1)!}-u_{n+1} \leq \frac{e}{(n+1)!}
- En déduire que la suite (p_n) de terme général :
p_n=\sum_{k=0}^n\bigl(\frac{(-1)^k}{k!}\bigr) est telle que :
\lim\nolimits_{n \to \infty} p_n=\frac{1}{e} et |p_n-\frac{1}{e}| \leq \frac{1}{(n+1)!}
On a :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=(-1)^n(e.p_n-1)
Or, d’après 3) et le théorème d’encadrement au voisnage de l’infini,
\lim\nolimits_{n \to \infty} u_n=\lim\nolimits_{n \to \infty} \frac{e}{(n+1)!}=0
Donc, ((-1)^n rendant inchanger la limite quelque soit la parité de n), \lim\nolimits_{n \to \infty} (e.p_n-1)=0 \Longleftrightarrow \lim\nolimits_{n \to \infty} p_n=\frac{1}{e}
Puis, |u_n|=|e.p_n-1| \leq |\frac{e}{(n+1)!}| \Longleftrightarrow |p_n - \frac{1}{e}|\leq \frac{1}{(n+1)!}
Pfiouh. Ca met du temps, mais c’est trop beau. J’avais encore jamais essayé du latex comme ça. Ca sert à rien, ça fait perdre du temps mais c’est booow.
Et combien fais tu payer la page rédigée en LaTex, parce que pour mon TIPE je risque d’en avoir besoin et je serai bien incapable de le faire moi même ! 
dav a écrit:
Et combien fais tu payer la page rédigée en LaTex, parce que pour mon TIPE je risque d’en avoir besoin et je serai bien incapable de le faire moi même !
Allez, 10€ de l’heure. Avec le forfait de déplacement. 8)
Non, mais c’est très simple !! Ce sont les premières heures les plus fastidieuses, mais faut se dire qu’en latex, tout est possible!!(==> bon overdose de latex là. )
Bon j’ai pas tout lu je dois avouer, mais bravo pour le latex, j’aurais jamais eu le courage de faire ca.
Y’a un truc qui me parait bizarre dans ta démo c’est qu’on te demande de démontrer que u_n=\frac{e}{n!}-u_{n-1}
puis ensuite à la question d’après tu changes de relation de récurrence en utilisant celle là u_{n+1}& \ =\frac{e}{n!}-u_n Après ca semble pas poser de problèmes dans le calcul néanmoins donc je me dis que ya ptetre un truc qui m’a échappé…
006 a écrit:
Bon j’ai pas tout lu je dois avouer, mais bravo pour le latex, j’aurais jamais eu le courage de faire ca.
Y’a un truc qui me parait bizarre dans ta démo c’est qu’on te demande de démontrer que u_n=\frac{e}{n!}-u_{n-1}
puis ensuite à la question d’après tu changes de relation de récurrence en utilisant celle là u_{n+1}& \ =\frac{e}{n!}-u_n Après ca semble pas poser de problèmes dans le calcul néanmoins donc je me dis que ya ptetre un truc qui m’a échappé…
u_n=\frac{e}{n!}-u_{n-1} \Leftrightarrow u_{n+1}=\frac{e}{(n+1)!}-u_n \Leftrightarrow u_n=\frac{e}{(n+1)}-u_{n+1} !
Heu, atta, je comprends pas, le problème c’est que j’incrémente mon n ? C’est valable pour tout n>1, donc fait comme si j’avais posé m=n+1 pour m>0 ^^ !