bonsoir
je suis une futur MPSI ;et comme vous savez la rentrée n’est + que ds deux semaines +4j 
,et j’ai envie de faire quelques exercices de maths et malheureusement 
mon lycée nous a pas donné un DM pour la rentrée ni en maths ni en physique ,et je demonde à ceux qui les ont de les scannez et de les mettres ici pour que tout le monde en aura sa dose , si cela ne déronge personne bien sur
je vous remercie d’avançe 
A++ 
J’en ai un qui m’a l’air assez dûr. 
(je comptais le faire demain )
- Etudiez f avec, \forall x\in [0;1], f(x)=\frac{x}{x^2+1}
- En déduire la limite de S_n avec :
\forall n \in \mathbb{N}, S_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{k^2+n^2}}
Amuse-toi bien.
Indice a écrit:
C’est dans le chapitre intégrale. Ca c’est de l’indice.
En voici un pas trop dur, calculer les sommes suivante :
\sum_{k=0}^n \, k.(sin(x))^{k-1}\,\$ et \sum_{k=1}^nk.C_n^k$
@+ Dodo
dododo a écrit:
En voici un pas trop dur, calculer les sommes suivante :
\sum_{k=0}^n \, k.sin^{k-1}\,\$ et \sum_{k=1}^nk.C_n^k$
@+ Dodo
Tu as oublié la variable x dans la première.
Quoi que ça change pas grand chose.(atchoum)
Oui en effet mais bon vu que c’est fixe dans la sommation … Watza tu pourrais mettre l’exercice avec les intégrales, Rn et I, j’ai la fléme de le taper en latex.
dododo a écrit:
Oui en effet mais bon vu que c’est fixe dans la sommation … Watza tu pourrais mettre l’exercice avec les intégrales, Rn et I, j’ai la fléme de le taper en latex.
C’était une sous partie d’un exo de 1 page ! La flemme ! 
WatzaKamikaze a écrit:
J’en ai un qui m’a l’air assez dûr.
- Etudiez f avec, \forall x\in [0;1], f(x)=\frac{x}{x^2+1}
- En déduire la limite de S_n avec :
\forall n \in \mathbb{N}, S_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{k^2+n^2}}
Amuse-toi bien.[quote=« Indice »]
C’est dans le chapitre intégrale. Ca c’est de l’indice.
[/quote]
Suffit de passer par la somme de Riemann associée à la fonction et de dire que sa limite quand n tend vers + infini est égale à l’intégrale et le tour est joué, non?
006 a écrit:
Suffit de passer par la somme de Riemann associée à la fonction et de dire que sa limite quand n tend vers + infini est égale à l’intégrale et le tour est joué, non?
Oui, c’est ça, sauf qu’en terminale, ils ne sont pas censé connaitre les sommes de Riemman. Mais sinon, ça va tout seul avec ça…
Tbotw69 a écrit:
[quote=« 006 »]
Suffit de passer par la somme de Riemann associée à la fonction et de dire que sa limite quand n tend vers + infini est égale à l’intégrale et le tour est joué, non?
Oui, c’est ça, sauf qu’en terminale, ils ne sont pas censé connaitre les sommes de Riemman. Mais sinon, ça va tout seul avec ça…
[/quote]
Ouais mais en terminale, on voit quand même la méthode des rectangles (enfin dans mon lycée le prof nous l’avait fait faire en TD). Ce qui revient au même
006 a écrit:
[quote=« Tbotw69 »]
[quote=« 006 »]
Suffit de passer par la somme de Riemann associée à la fonction et de dire que sa limite quand n tend vers + infini est égale à l’intégrale et le tour est joué, non?
Oui, c’est ça, sauf qu’en terminale, ils ne sont pas censé connaitre les sommes de Riemman. Mais sinon, ça va tout seul avec ça…
[/quote]
Ouais mais en terminale, on voit quand même la méthode des rectangles (enfin dans mon lycée le prof nous l’avait fait faire en TD). Ce qui revient au même
[/quote]
Vi, bah disons que sans la question 1, ça ne serait pas de niveau terminal… Et puis y a l’indice du chapitre.
Mais en soit, c’est pas les sommes de Riemann au sens large(j’veux dire on peut pas mettre directe limite de n->+00 de sigma… blabla), mais il faut construire deux suites adjacentes qui encadrent l’intégrale de f de 0 à 1.
WatzaKamikaze a écrit:
Mais en soit, c’est pas les sommes de Riemann au sens large
WatzaKamikaze a écrit:
mais il faut construire deux suites adjacentes qui encadrent l’intégrale de f de 0 à 1.
C’est effectivement différent que d’appliquer la formule sur les sommes de Riemann 
Tbotw69 a écrit:
[quote=« WatzaKamikaze »]
Mais en soit, c’est pas les sommes de Riemann au sens large
WatzaKamikaze a écrit:
mais il faut construire deux suites adjacentes qui encadrent l’intégrale de f de 0 à 1.
C’est effectivement différent que d’appliquer la formule sur les sommes de Riemann
[/quote]
Je veux dire : c’est le principe des formules, mais on n’utilise aucun prérequis(autres que ceux de term) ! 
je vous remercie pour vous réponses
lapremière question esttrés facile (je trouve que f est croissante sur [0;1]
mais pour la 2ème question …je vois pas trop
Suffit de passer par la somme de Riemann associée à la fonction et de dire que sa limite quand n tend vers + infini est égale à l’intégrale et le tour est joué, non?
je vois pas ce que c’est …j’ai po vu ça en terminale
si vous avez d’autres exo n’ésitez pas …!!!
merci
cercledor a écrit:
je vous remercie pour vous réponses
lapremière question esttrés facile (je trouve que f est croissante sur [0;1]
mais pour la 2ème question …je vois pas tropSuffit de passer par la somme de Riemann associée à la fonction et de dire que sa limite quand n tend vers + infini est égale à l’intégrale et le tour est joué, non?
je vois pas ce que c’est …j’ai po vu ça en terminale
si vous avez d’autres exo n’ésitez pas …!!!
merci
L’intégration avec les rectangles, tu n’as pas vu ?
Compare la somme demandé à : \frac{1}{n}.\sum_{k=1}^{n}{f(\frac{k}{n}}k\kd)}
Bonjour! Est-ce que quelqu’un peut poster la solution a la question 2) de cet exo svp.
- Etudiez f
- En déduire la limite de Sn
WatzaKamikaze a écrit:
J’en ai un qui m’a l’air assez dûr.
- Etudiez f avec, \forall x\in [0;1], f(x)=\frac{x}{x^2+1}
- En déduire la limite de S_n avec :
\forall n \in \mathbb{N}, S_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{k^2+n^2}}
Amuse-toi bien.[quote=« Indice »]
C’est dans le chapitre intégrale. Ca c’est de l’indice.
[/quote]
C’est méchant de poser ça comme exo à qqn qui n’est pas rentré en prépa
(à part Riemann, aucune idée personnellement)
- Etudiez f avec, \forall x\in [0;1], f(x)=\frac{x}{x^2+1}
- En déduire la limite de S_n avec :
\forall n \in \mathbb{N}, S_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{k^2+n^2}}
\forall x\in [0;1[, f'(x)=\frac{x^2+1-2x*x}{(x^2+1)^2}=\frac{(1-x)(x+1)}{(x^2+1)^2}>0
et f'(1)=0
Les autres caractéristiques de f ne sont pas intéressantes.
De fait, f est strictement croissante sur [0;1].
Or, S_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{k^2+n^2}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}{\frac{\frac{k}{n}}{\frac{k^2}{n^2}+1}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})
Considérons maintenant s_n ( seule astuce)définie par :
s_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})
En posant i=k+1, on obtient :
s_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n})
Or, de la croissance stricte de f, pour tout x de l’intervalle [\frac{k-1}{n};\frac{k}{n}] \subset [0;1], on a :
f(\frac{k-1}{n})<f(x)<f(\frac{k}{n})
Donc, en intégrant sur ce même intervalle(ou par l’inégalité de la moyenne, puisque x appartient à cet intervalle) on obtient :
\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(\frac{k-1}{n})dx<\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(x)dx<\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(\frac{k}{n})dx
Ainsi, en sommant de 1 à n, on obtient :
(1)s_n<\int_{0}^{1}f(x)dx<S_n
D’autre part, on remarque que :
(2)S_n-s_n=\frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2n}
D’après (2), on a : \lim\nolimits_{n \to \infty} (S_n-s_n)=0, soit : \lim\nolimits_{n \to \infty} S_n=\lim\nolimits_{n \to \infty} s_n, et de fait d’après le théorème d’encadrement au voisinage de l’infini et de (1) :
\lim\nolimits_{n \to \infty} S_n=\int_{0}^{1}f(x)dx
Or, en posant \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=1+x^2, on obtient :
\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{u'(x)}{2u(x)}=\frac{(ln u(1)-ln u(0))}{2}=\frac{ln 2-ln 1}{2}=\frac{ln 2}{2}
Je ne pensais que ça prendrait tant de temps, et je dis nawak, stay pas des suites adjacentes T__T. ;p Heureusement que ce n’est pas la rentrée.
Tyrael a écrit:
C’est méchant de poser ça comme exo à qqn qui n’est pas rentré en prépa
Tsss, spaske t’es en prépas que y a plus de réflexion, mais faut vâchement réfléchir pour arriver à ça.(et certes, être un peu initié [;p pour penser au sn])
Sâche que tu m’as forcé à écouter gregory lemarchal. (j’avais la flemme de bouger itunes)
Tu me le paieras.
WatzaKamikaze a écrit:
Sâche que tu m’as forcé à écouter gregory lemarchal. (j’avais la flemme de bouger itunes)
Ouais ca doit être accessible en terminale c’est certain, mais pas à moi du temps où j’y étais 
Sinon, un peu plus de respect pour les défunts stp
Tyrael a écrit:
[quote=« WatzaKamikaze »]
Sâche que tu m’as forcé à écouter gregory lemarchal. (j’avais la flemme de bouger itunes)
Ouais ca doit être accessible en terminale c’est certain, mais pas à moi du temps où j’y étais
[/quote]
Meuuuh si !
Tyrael a écrit:
Sinon, un peu plus de respect pour les défunts stp
Paix à son âme ! Mais il continue à sortir des disques.
j’suis bluffé par l’utilisation de Latex par un terminal…