Salut,
J’aimerais bien arriver en MPSI, du coup j’ai commencé à réviser mon programme de TS, mais bon j’aimerais des exos dans l’esprit prépa, c’est à dire où il faut réfléchir un peu plus, mais avec les notions de terminale.
Ce topic ne s’adresse pas qu’à moi, ça serait même sympa de résoudre des trucs à plusieurs.
Merci
Bon, un exercice un peu difficile pour un TS (je crois même sans trop m’avancer que pas mal de spé qui le rencontrent pour la première fois auront du mal à y arriver)
Soit f et g deux applications continues de I=[0,1] dans I. On suppose que fog=gof. Montrer que f et g admettent un point fixe commun.
Un peu chaud quand même. Le voici en plus guidé + corrigé :
Exercice 12: gilles.costantini.pagesperso-ora … Rder03.pdf
Je donne quelques uns plus accessibles:
-Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1). Montrer que l’équation f(x+\frac{1}{2})=f(x) admet une solution sur [0;\frac{1}{2}]. Généralisation?
J’étais en train de prendre un exemple, f(x)=2x et g(x)=x, la composée commute et les 2 admettent un point fixe en 0, mais j’arrive pas le prouver.
Ils sont en vacance et ont du temps à tuer. A mon avis pas la peine de voir les questions préliminaires quitte à plancher dessus 2/3h et de ressayer demain par exemple.
Fonction réelle continue, on peut faire pas mal de petits schémas quand même.
J’étais parti sur de l’absurde aussi mais je bloquais un peu 
Phylov, ton premier exercice ressemble beaucoup au 2eme exercice du CG 2005 non 
?
Dohvakiin t’avais trouvé toi ? o_o
@mehdinho : ok.
@ Dohvakiin : Il lui ressemble mais c’est pas du tout le même niveau de difficulté 
Concernant l’exercice de Mehdinho, montrer l’existence d’un point d’égalité se fait assez rapidement par l’absurde. Par contre montrer qu’il s’agit d’un point fixe demanderait que je m’y penche un peu plus mais comme il fait très beau aujourd’hui..
J’essaierai de poster un exo de niveau TS+ sur les complexes si j’y pense.
Death Cube K a écrit:
Dohvakiin t’avais trouvé toi ? o_o
Celui de mehdinho? J’ai pas trop cherché, j’ai montré que les deux fonctions avaient un point fixe, puis j’ai supposé qu’ils etaient différents et après… Phylov a mis son lien donc je suis allé voir
Comment tu montres qu’elles ont un point fixe ?
On le montre pour f (même raisonnement pour g):
f admet un point fixe ssi il existe un a de [0;1] tq f(a)=a.
On pose h(x)=f(x)-x définie sur [0;1]. h(0) = f(0)>0 et h(1) = f(1)-1<0, TVI, il existe a tq f(a)-a = 0 et c’est bon
Assez classique (en tout cas en sup je crois):
Calculer \sum_{k=0}^{n}{cos(kx) (x réel)
Mais comment tu sais que h(0)>0 et h(1)<0, et puis si ça se trouve la fonction n’est pas monotone, donc tu peux avoir 2 pts fixes.
EDIT : j’avais pas vu qu’on arrivait dans le même ensemble.
Je veux pas me faire de la pub, mais tu peux jeter un coup d’oeil sur mon site je propose des DM intéressants 
Dohvakiin a écrit:
Assez classique (en tout cas en sup je crois):
Calculer \sum_{k=0}^{n}{cos(kx) (x réel)
Et hop on multiplie par sin(x/2) et ça vient tout seul
J’aurais plutôt pensé au passage en Complexes.
Vous faites comment pour calculer des sommes vous ?
Ca dépend lesquelles, en sup normalement, on ne sait calculer que des sommes géométriques, ou télescopiques.
Ouais mais comment des terminales arrivent à trouver des sommes genre sigma cos(kx)
On a jamais vu ça, je sais juste calculer la somme des termes d’une suite géo.
