(15) Déterminer det((pgcd(i, j))_{1 \leqslant i, j \leqslant n}).
Quand on parle d’exercice classique à savoir car difficilement intuitable et qui ressort souvent, on pense à celui-là je pense.
Quelle horreur le (15) ^^
(16) Calculer l’intégrale sur [0,+infini[^2 de exp(-x^2 -y^2). En déduire l’intégrale sur [0,+infini[ de exp(-x^2)
(17) montrer qu’un projecteur p est orthogonal si et seulement si |||p|||=1
(18) Lemme de Riemann-Lebesgue :
Soit f continue par morceaux sur [a,b]. montrer que l’intégrale sur [a,b] de f(t)exp(it*x) tends vers 0 quand x tends vers +infini
(19) existence et unicité des polynômes de Tchebychev, c’est à dire de Pn tel que pour tout x dans IR, Pn(cos(x)) = cos(n*x)
(20) Montrer que Sn++(IR) est un ouvert de Sn(IR)
(21) Décomposition de Cholesky : soit A définie positive. Motrer qu’il existe une unique matrice T triangulaire supérieure à coefficients positifs telle que A = tTT
(22) Montrer qu’un hyperplan est soit fermé soit dense.
Un compliqué si on a jamais vu la méthode, mais justement c’est une méthode classique :
(23) donner le nombre d’arbres binaires à n noeuds (si vous connaissez pas la définition d’un arbre binaire, demandez à un de vos potes en MP info)
Et puis :
(24) Soit A et B deux matrices diagonalisables qui commutent. Montrer qu’elles sont codiagonalisables.
(à refaire avec n matrices qui commutent 2 à 2 bien sur)
Ouais, c’est le nombre de parenthésages différents d’une expression 
Nombres de Catalan, le cinquième vaut 42
Et c’est pas franchement dur quand on pose la bonne question au grand génie de la récurrence 
Qu’est-ce que t’appelles « grand génie de la récurrence »? Parce que si il y a bien un truc qui ne se résout pas par récurrence, c’est la récurrence de Catalan 
Le grand génie de la récurrence c’est l’être omnipotent qui connait tout pour les cas en-dessous 
(25) Suite des sinus itérés:
Soit (u_n) la suite tel que u_0=1 et \forall n \in {\mathbb N} \quad u_{n+1}=\sin(u_n). Donner un équivalent simple de u_n.
Tant qu’on y est :
26) En sommant des relations de comparaison, démontrer le théorème de Césaro
Windu a écrit:
J’essaye de donner quelques plans de solutions possibles en spoiler (ça me permettra de voir si je sais en faire certains
)
(1)Par récurrence sur n. On utilise d’abord Cayley-Hamilton et l’hypothèse pour montrer que 0 est racine du polynôme caractéristique de A. Si u est un vecteur propre associé on écrit la matrice de f canoniquement associé à A dans une base dont u est le premier vecteur. Cette matrice a une première colonne de 0, et une sous-matrice de taille n-1 en bas à droite, soit B. B vérifie la condition sur la trace donc (H.R) B nilpotente, puis A nilpotente.
Peux-tu être plus précis quant à l’utilisation du polynôme caractéristique ?
@AlexZeta : j’ai pas bien compris ce que tu demandes de montrer dans les (27) et (28)
Un corollaire du Lemme de Riemann-Lebesgue qui peut être utile :
(29) soit f intégrable et continue par morceaux sur IR+. Montrer que l’intégrale sur IR+ de f(t)exp(ix*t) tends vers 0 quand x tends vers +infini.
Au sujet du (3) j’arrive à montrer qu’il est borné mais pas qu’il est fermé ಠ_ಠ
C’est l’image réciproque du singleton (fermé) Id par une application continue que tu trouveras j’en suis sûr.
brank a écrit:
C’est l’image réciproque du singleton (fermé) Id par une application continue que tu trouveras j’en suis sûr.
Ah oui, je l’ai maintenant. Je posterai la réponse quand je serais sur un ordi. Il est pas ce que j’appellerai « trivial » quand même, même si il est pas foncièrement difficile
(30) Pas un exercice, mais plutôt une notion, les sous-espaces caractéristiques.
C’est fondamental et je ne suis pas sûr que ce soit au programme.
fr.wikipedia.org/wiki/Sous-espac … A9ristique
(31) Éventuellement, pour les curieux, regarder la réduction de Jordan 
fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9duction_de_Jordan
AlexZeta a écrit:
[quote=« muhu »]
(25) Suite des sinus itérés:
Soit (u_n) la suite tel que u_0=1 et \forall n \in {\mathbb N} \quad u_{n+1}=\sin(u_n). Donner un équivalent simple de u_n.
[/quote]
u_n \underset{n \longrightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{\dfrac{3}{n}}
(32) (Pour continuer sur les sous-espaces caractéristiques)
Résoudre les équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants en utilisant l’endomorphisme de dérivation.
Plasmax a écrit:
[quote=« AlexZeta »]
[quote=« muhu »]
(25) Suite des sinus itérés:
Soit (u_n) la suite tel que u_0=1 et \forall n \in {\mathbb N} \quad u_{n+1}=\sin(u_n). Donner un équivalent simple de u_n.
[/quote]
u_n \underset{n \longrightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{\dfrac{3}{n}}
[/quote]
Une indication : DL et ED discrète
Réponse au (3) :
[spoiler]Montrons que On(IR) est un compact de Mn(IR).
Mn(IR) est de dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes. On travaillera avec la norme subordonnée à la norme euclidienne canonique de IR.
De plus, il sera suffisant de montrer que On(IR) est un fermé borné.
Montrons que c’est un fermé.
Une caractérisation d’une matrice orthogonale est la suivante : tAA = Id.
Soit donc f une application de Mn(IR) dans Mn(IR), qui à A associe tAA.
alors On(IR) est l’image réciproque de {Id} par f.
{Id} est un fermé, et f est continue car la multiplication et la transposition des matrices sont deux opérations linéaires donc continues car Mn(IR) est de dimension finie.
Donc On(IR) est fermé.
Montrons qu’il est borné.
On veut majorer la norme d’une matrice de On(IR). Rappelons qu’on a choisi comme norme la norme subordonné : soit donc X un vecteur de IR^n et A une matrice orthogonale.
||AX||=||X|| car un automorphisme orthogonal conserve la norme.
Donc si X est non nul, on a toujours ||AX||/||X|| = 1.
Donc On(IR) est inclus dans la boule fermée de centre O et de rayon 1, donc il est borné.
C’est donc un compact.[/spoiler]
Je vais essayer d’en faire d’autres, ça exerce pas mal
Downham a écrit:
Réponse au (3) :
[spoiler]Montrons que On(IR) est un compact de Mn(IR).
Mn(IR) est de dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes. On travaillera avec la norme subordonnée à la norme euclidienne canonique de IR.
De plus, il sera suffisant de montrer que On(IR) est un fermé borné.Montrons que c’est un fermé.
Une caractérisation d’une matrice orthogonale est la suivante : tAA = Id.
Soit donc f une application de Mn(IR) dans Mn(IR), qui à A associe tAA.
alors On(IR) est l’image réciproque de {Id} par f.
{Id} est un fermé, et f est continue car la multiplication et la transposition des matrices sont deux opérations linéaires donc continues car Mn(IR) est de dimension finie.
Donc On(IR) est fermé.Montrons qu’il est borné.
On veut majorer la norme d’une matrice de On(IR). Rappelons qu’on a choisi comme norme la norme subordonné : soit donc X un vecteur de IR^n et A une matrice orthogonale.
||AX||=||X|| car un automorphisme orthogonal conserve la norme.
Donc si X est non nul, on a toujours ||AX||/||X|| = 1.
Donc On(IR) est inclus dans la boule fermée de centre O et de rayon 1, donc il est borné.C’est donc un compact.[/spoiler]
Je vais essayer d’en faire d’autres, ça exerce pas mal
Je crois que c’était le plus facile de tous ceux proposés, bonne chance pour le reste.
Transcender a écrit:
Je crois que c’était le plus facile de tous ceux proposés, bonne chance pour le reste.
Le (19) (existence et unicité des polynômes de Tchebytchev) est assez rapide aussi
Transcender a écrit:
[quote=« Downham »]
Réponse au (3) :[spoiler]Montrons que On(IR) est un compact de Mn(IR).
Mn(IR) est de dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes. On travaillera avec la norme subordonnée à la norme euclidienne canonique de IR.
De plus, il sera suffisant de montrer que On(IR) est un fermé borné.Montrons que c’est un fermé.
Une caractérisation d’une matrice orthogonale est la suivante : tAA = Id.
Soit donc f une application de Mn(IR) dans Mn(IR), qui à A associe tAA.
alors On(IR) est l’image réciproque de {Id} par f.
{Id} est un fermé, et f est continue car la multiplication et la transposition des matrices sont deux opérations linéaires donc continues car Mn(IR) est de dimension finie.
Donc On(IR) est fermé.Montrons qu’il est borné.
On veut majorer la norme d’une matrice de On(IR). Rappelons qu’on a choisi comme norme la norme subordonné : soit donc X un vecteur de IR^n et A une matrice orthogonale.
||AX||=||X|| car un automorphisme orthogonal conserve la norme.
Donc si X est non nul, on a toujours ||AX||/||X|| = 1.
Donc On(IR) est inclus dans la boule fermée de centre O et de rayon 1, donc il est borné.C’est donc un compact.[/spoiler]
Je vais essayer d’en faire d’autres, ça exerce pas mal
Je crois que c’était le plus facile de tous ceux proposés, bonne chance pour le reste.
[/quote]
Y’en a pas mal dans la liste que j’avais fait avant ou que j’ai vite résolu, mais celui là tu le proclamais trivial alors que pour moi c’était pas trop le cas. C’est pour ça que je l’ai rédigé.
Downham a écrit:
[quote=« Transcender »]
[quote=« Downham »]
Réponse au (3) :[spoiler]Montrons que On(IR) est un compact de Mn(IR).
Mn(IR) est de dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes. On travaillera avec la norme subordonnée à la norme euclidienne canonique de IR.
De plus, il sera suffisant de montrer que On(IR) est un fermé borné.Montrons que c’est un fermé.
Une caractérisation d’une matrice orthogonale est la suivante : tAA = Id.
Soit donc f une application de Mn(IR) dans Mn(IR), qui à A associe tAA.
alors On(IR) est l’image réciproque de {Id} par f.
{Id} est un fermé, et f est continue car la multiplication et la transposition des matrices sont deux opérations linéaires donc continues car Mn(IR) est de dimension finie.
Donc On(IR) est fermé.Montrons qu’il est borné.
On veut majorer la norme d’une matrice de On(IR). Rappelons qu’on a choisi comme norme la norme subordonné : soit donc X un vecteur de IR^n et A une matrice orthogonale.
||AX||=||X|| car un automorphisme orthogonal conserve la norme.
Donc si X est non nul, on a toujours ||AX||/||X|| = 1.
Donc On(IR) est inclus dans la boule fermée de centre O et de rayon 1, donc il est borné.C’est donc un compact.[/spoiler]
Je vais essayer d’en faire d’autres, ça exerce pas mal
Je crois que c’était le plus facile de tous ceux proposés, bonne chance pour le reste.
[/quote]
Y’en a pas mal dans la liste que j’avais fait avant ou que j’ai vite résolu, mais celui là tu le proclamais trivial alors que pour moi c’était pas trop le cas. C’est pour ça que je l’ai rédigé.
[/quote]
Ce n’est pas moi qui ai dit qu’il était trivial, mais je le trouve relativement facile, comparé aux autres.