Bonjour,
Comme l’idée initiale me semblait bonne, pour nombre raisons, et que le topic a été supprimé sans raison apparente je me permets de relancer le sujet.
Ce topic a pour objet de regrouper bon nombres d’exercices, dits « classiques », qui permettra aux taupins de connaitre beaucoup d’astuces, et donc de grandement faciliter la réflexion sur d’autres exercices plus difficiles.
Pour ce qui est du niveau de l’exercice, je ne pense pas que ce soit utile de le préciser, puisque de toute manière les exos listés sur ce topic sont à savoir « par coeur ».
Par contre il serait judicieux de les numéroter (pour qu’on puisse faire correspondre sa correction, à chaque exercice).
(1) Soit A \in M_n(\mathbb C) telle que pour tout k \in \mathbb N^* : Tr(A^k) = 0.
Montrer que A est nilpotente.
(2) Soient A et B deux matrices de Mn( R ), Montrer que AB et BA ont le même polynôme caractéristique.
( C’est un extrait d’un écrit mines ponts MP ou y a deux questions avec des indications ).
(3) Montrer que On( R ) (ensemble des matrices orthogonales) est un compact de Mn( R ).
Le (2) se base sur une astuce, certes, mais c’est une astuce qu’il faut connaître pour le réussir, sinon c’est assez difficile. Le (3) j’avoue qu’il est facile mais c’est un grand classique qu’il faut connaître et je connais beaucoup de gens qui se sont foirés en essayant de montrer qu’ On( R ) est borné.
(4) Soit un entier n \geqslant 2. Montrer que tout hyperplan de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) contient une matrice inversible.
C’est pas spécifique MP mais bon…
(5) Montrer que si deux matrices carées réelles sont semblables dans {\mathcal M}_n({\mathbb C}), elles le sont dans {\mathcal M}_n({\mathbb R}).
(6) Montrer que toute matrice carrée de trace nulle est semblable à une matrice à digonale nulle.
(7) Montrer que Dn( C ) (ensemble des matrices diagonalisables) est dense dans Mn( C ).
(8) Soit A dans Sn++(IR). Montrer qu’il existe une (unique) matrice B de Sn++(IR) telle que A=B^2. L’unicité est un peu plus difficile, mais l’existence sert souvent.
(9)Lemme de Hadamard, disque de Gershgorin
Soit A=(a_{ij})_{1\leq i,j \leq n} \in {\mathcal M}_n({\mathbb C}). Pour tout i \in \{1,\cdots,n\}, on pose: R_i=\displaystyle \sum_{1 \leq j \leq n \\ j \neq i} |a_{ij}|
On note \Delta_i le disque ouvert de centre a_{ii} et de rayon R_i et soit \Delta=\displaystyle\cup_{i=1}^n \Delta_i
- On suppose que pour tout i \in \{1,\cdots,n\},on a |a_{ii}| > R_i. Montrer que la matrice A est inversible.
- Montrer que \text{Sp}(A) \subset \Delta
- On suppose de nouveau que pour tout i \in \{1,\cdots,n\},on a |a_{ii}| > R_i. Montrer que:
|\det(A)| \geq \displaystyle \prod_{i=1}^n (|a_{ii}|-R_i).
- On suppose que $A \in {\mathcal M}_n({\mathbb R})$et que pour tout i \in \{1,\cdots,n\},on a a_{ii} > R_i. Montrer que:
\det(A) \geq \displaystyle \prod_{i=1}^n (|a_{ii}|-R_i).
C’est classique ça? ^^ (à part la 1.)
C’est ce que je me disais 
(10) Coeur et nilespace d’un endomorphisme :
Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n \in \mathbb{N}^{*} et f \in \mathcal{L}(E). On définit respectivement le cœur et le nilespace de f par C_{f}=\bigcap_{k \in \mathbb{N}} Im(f^{k}) et N_{f}=\bigcup_{k \in \mathbb{N}} Ker(f^{k}). Étudier la monotonie des suites (Im(f^{k})_{k \in \mathbb{N}} et (Ker(f^{k})_{k \in \mathbb{N}} puis montrer qu’elles stationnent toutes les deux à partir d’un rang commun r. Montrer qu’alors le coeur et le nilespace sont supplémentaires dans E.
C’est un ultra-classique/méga-important en sup comme en spé.
(11) Montrer que (sin(n))_{n \in \mathbb N} est dense dans [-1, 1].
Deux à savoir faire vite et bien
(12) Gauss-Lucas Soit P un polynôme complexe non constant. Montrer que les racines de P’ sont contenues dans l’enveloppe convexe de celles de P.
(13) Caractériser les sous-groupes additifs de (IR,+).
13)b)
Soit x un réel.
Soit L le sous groupe de (R,+) {n+mx, n et m entiers}
Montrer que L est dense si et seulement si m est irrationel
J’essaye de donner quelques plans de solutions possibles en spoiler (ça me permettra de voir si je sais en faire certains 
)
(1)
Par récurrence sur n. On utilise d’abord Cayley-Hamilton et l’hypothèse pour montrer que 0 est racine du polynôme caractéristique de A. Si u est un vecteur propre associé on écrit la matrice de f canoniquement associé à A dans une base dont u est le premier vecteur. Cette matrice a une première colonne de 0, et une sous-matrice de taille n-1 en bas à droite, soit B. B vérifie la condition sur la trace donc (H.R) B nilpotente, puis A nilpotente.
Pour plus de clarte il vaudrait mieux mettre le numero de la question et ensuite seulement un spoiler 