Cryme a écrit:
Ouais, enfin A^{-1}(nE_{1,1}-I_n) m’a l’air de furieusement bien marcher
Lorsque A n’est pas inversible, elle roule et n’amasse pas mousse.
Pour le reste entendons-nous. Je n’ai pas remis en question la facilité du point admis par Plasmax. J’ai juste souligné qu’il était admis.
Effectivement, elle n’est pas forcément inversible ! ^^’
Mais on a une équivalence avec une certaine matrice $J_r$…
Mais ca peut se faire beaucoup plus rapidement !
Par l absurde, H n a pas de matrice inversible donc H et Vec(In) sont supplementaires.
Ensuite pour i different de j on ecrit E(i,j)= M+aIn, or si a different de 0 E(i,j)-aIn inversible.
Donc H contient tous les E(i,j). On obtient alors facilement une matrice de permutation
Resultat H contient une matrice inversible
V@J a écrit:
[quote=« Aiemann »]
Désolé, j’avais pas vu l’indication de V@J.
Je comprend l’idée mais je trouve pas les coefficients convenables pour avoir \varphi(k) sur la diagonale (et des zéros en dessous)…
C’est parce que tu souhaites obtenir des zéros AU DESSUS de la diagonale.
[/quote]
Désolé, j’avais écrit « dessous » par erreur.
C’est pas grave je sais comment résoudre l’exo autrement.
Jiawang a écrit:
13)b)
Soit x un réel.
Soit L le sous groupe de (R,+) {n+mx, n et m entiers}Montrer que L est dense si et seulement si m est irrationel
Il y’a une petite erreur, la question d’irrationalité doit porter sur x et pas sur m (.. bien sur).
[spoiler]On utilise le résultat de (13) : Les sous-groupes de (R,+) sont soit de la forme aZ (a dans R) soit denses.
On montre la contraposée i.e. x rationnel <=> L n’est pas dense.
=>) Supposons que x est rationnel, il s’écrit alors x = a/b avec (a,b) dans NxZ* et a premier avec b.
Par le Th de Bézout, il existe (p,q) de Z² tq ap + bq = 1 <=> (a/b)p + q = 1/b.
Donc 1/b est dans L et (1/b)Z est inclus dans L.
Soit y un élément de L, y s’écrit y = mx + n = (a/b)m + n = (am + bn)/b, donc y est dans (1/q)Z.
Donc L = (1/b)Z. Et par (13) L n’est pas dense.
<=) Supposons que L n’est pas dense, alors il existe o dans R tq L = xZ + Z = oZ.
x et x + 1 étant dans L, il existe k et k’ dans Z tq x = ko et x + 1 = k’o, soit 1 = (k’ - k)o.
Donc o est rationnel, et par suite x est rationnel (x = ko).[/spoiler]
(51) Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, montrer que toute forme quadratique q sur E définie est soit positive soit négative.
Question bonus : à quelle condition ça reste vrai en dimension infinie ?
Par l’absurde, on suppose qu’on dispose de q une forme quadratique définie mais ni positive ni négative.
Elle possède alors au moins une valeur propre positive et une valeur propre négative (par contrapposée).
On construit alors facilement un élément non nul qui est pourtant annulé par la forme quadratique, ce qui est absurde 
Je te ferai ça quand j’aurai un ordi sous la main.
Cryme a écrit:
Par l’absurde, on suppose qu’on dispose de q une forme quadratique définie mais ni positive ni négative.
Elle possède alors au moins une valeur propre positive et une valeur propre négative (par contrapposée).
On construit alors facilement un élément non nul qui est pourtant annulé par la forme quadratique, ce qui est absurde
Je te ferai ça quand j’aurai un ordi sous la main.
soit Phi la forme biliéaire associée à q définie , et soit X1 et X2 deux vecteurs propres associés à des valeurs propres de signes opposés .
on calcule Phi( X1 + aX2 , X1+aX2)
et on montre qu’on peut choisir a réel qui annule l’expression , d’où une contradiction puisque X1+ a X2 non nul
Comment tu peux choisir ce a ?
PokerBluffs a écrit:
Comment tu peux choisir ce a ?
n’a t-on pas q( x1+aX2)= Phi(x1,x1) + a^2 Phi(X2,X2)
avec Phi(x1,x1) et Phi(x2,x2) de signes opposés
C’est juste ça ?
Oui c’est juste ça 
lol je laissais le terme Phi(X1,X2) traîner honte à moi 
Sinon, on peut affaiblir les hypothèses en supposant seulement que q est continue , avec E de dimension quelconque.
Aiemann a écrit:
(44) Montrer que dans un groupe fini de cardinal n, on a x^n = 1 pour tout x.
(45) Montrer que le produit de tous les éléments non nuls d’un corps fini (donc commutatif (à admettre)) est égale à -1.
Pour le (45) j’ai ça mais j’ai l’impression de considérer comme allant de soit un truc qui ne l’est peut être pas. D’autant plus que je ne trouve pas de démo rigoureuse (j’ai pas encore beaucoup réfléchi)
[edit : en fait c’était stupide, il suffit de dire que
si a^2 =1 alors (a+1)(a-1)=0 donc a= 1 ou -1.
Morale de l’histoire : ne pas se laisser impressionner par le fait qu’on travail dans un corps quelconque. Au contraire, c’est l’occasion de calculer comme dans IR ]
Dans un corps commutatif, les seuls éléments qui sont leurs propres inverses sont 1 et -1. Donc dans ce gros produits commutatif tout le monde va inverser son inverse, sauf 1 et -1 parce qu’ils n’apparaissent qu’une seule fois. Reste 1 et -1, dont le produit est -1.
C’est aussi l’occasion de remonter ce précieux topic
Le (45) est un oral des Mines…
Remarquer bon que ces deux exos ont pour application deux résultats importants en arithmétique : le Th de Fermat et le Th de Wilson.
Oral des Mines sérieux??? J’en ai vu des bien plus rudes
J’ai essayé de regarder la démo de corps fini => corps commutatif, j’ai pas bien compris 
Il a été donné à mon frère comme 3ème exo aux Mines…
Pour le théorème de Wedderburn, moi non plus je n’ai pas tout compris, c’est surtout parce que ça passe par les cyclotomiques qui me font pas du tout plaisir 
.
Salut,
Pour le (53) : [spoiler]c’est une histoire de compter le nombre d’entiers n’ayant pas de 3 dans leur écriture décimale dans une tranche bien choisie, puis de majorer les sommes partielles par une suite géométrique de raison \frac{9}{10}.
D’ailleurs je crois que ça marche pour tous les chiffres à la place de 3 ^[1]
Le (52) il m’avait l’air simple, mais j’avoue que je galère là. Une indication serait la bienvenue .
/spoiler ↩︎
J’apporte ma pierre à l’édifice ( 
):
(54) Etablir, pour tout complexe z tel que |z|<1 , \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{nz^{n}}{1-z^{n}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^{n}}{(1-z^{n})^{2}}
Il est pas hyper classique mais ça aide beaucoup de l’avoir déjà vu.
Oh je pense qu’on peut considérer qu’il est classique. En tout cas les outils le sont.
[spoiler]Ce que j’écris est purement formel: il faut justifier les passages en italique !
Mais en partant naturellement sur le produit de Cauchy et l’inversion des signes somme, on y arrive rapidement.
D’abord, on remarque que \frac{1}{(1-z^{n})^{2}}=\frac{1}{z^{n}}\sum_{m=1}^{+\infty}m(z^{n})^{m} en utilisant un produit de Cauchy sur \frac{1}{1-z^{n}}\times \frac{1}{1-z^{n}}. On a donc tout simplement \frac{z^{n}}{(1-z^{n})^{2}}=\sum_{m=1}^{+\infty}mz^{nm}.
En écrivant la deuxième série et en intervertissant les signes somme on a donc S_{2}=\sum_{m=1}^{+\infty}\sum_{n=1}^{=\infty}(mz^{nm})=\sum_{m=1}^{+\infty}m\frac{z^{m}}{1-z^{m}}=S_{1}[/spoiler]
