Bonjour, je sais qu’il y a déjà pas mal d’exos dans les topics « jolis problèmes, partagez les » etc.. Mais je crée celui-ci tout nouveau ou je vous propose d’enoncer de jolis exos pouvant être utiles pour l’oral. Je vous invite ainsi à mettre les énoncés en citations comme ca ceux qui cherchent des énoncés les trouveront facilement. (Je viens de parcourir les 14 premières pages de « jolis problèmes, partagez les » et je m’appercois qu’il est très pénible de distinguer les énoncés).
Donc merci d’avance. (pour ma part, je mettrai bientôt en ligne quelques exos d’oraux)
Exo1:
Soit K un corp et E un K-ev. Montrer que si E est réunion de p+1 sev stricts de E alors K contient au plus p élements.
Cet exo rejoint une autre discussion ou je disais que les énoncés de prépas n’étaient pas assez précis, certains reconnaitront avoir déjà rencontré: Montrer que si E est un ev réunion de p sev de E, alors il est égal à l’un de ces sev. (énoncé qui sous-entend que E est un ev sur un corp infini)
Exo2:
Soit A=(a_{i,j})_{i,j}\in M_n(\mathbb{R}) tq A^2=A=tA. Montrer que \sum_{1\leq i,j \leq n}\sqrt{a_{i,j}^2} \leq n \sqrt{rg(A)}.
Edit: Petite précision: Je sais que y a pas mal de bouquins d’oraux, pas mal de pages web proposant des exos mais ils sont pour la plupart classés par chapitres, je souhaite plutôt traiter des exos sans savoir quoi utiliser..aussi, les exos qu’on y trouve ne sont pas toujours jolis et utiles..C’est pourquoi je poste un sujet, pour voir les exos qui « marquent ».
Il y a plus d’une coquille dans l’énoncé de l’exercice 2.
Peux-tu les corriger ?
emmo a écrit:
je ne sais pas si c’est important car très simple mais ça m’a l’air utile:
Exo 3:
montrer que \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} est un groupe pour la loi * si et seulement si p est un nombre premier
Il faut enlever le O. Sinon, c’est du cours.
dSP, je ne vois pas. (l’exercice consiste en la recherche des coquilles si j’ai compris)
Une preuve de Cayley-Hamilton que j’aime bien :
1/ Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables dans Mn(C) est dense dans Mn(C)
2/ En déduire une preuve du théorème de Cayley-Hamilton : pour M dans Mn(C), le polynôme caratéristique de M annule M
Mû a écrit:
[quote=« emmo »]
je ne sais pas si c’est important car très simple mais ça m’a l’air utile:
Exo 3:
montrer que \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} est un groupe pour la loi * si et seulement si p est un nombre premier
Enoncé erroné.
[/quote]
je l’ai enlevé car cours de spé et en effet énoncé erronné^^
omamar3131 a écrit:
dSP, je ne vois pas. (l’exercice consiste en la recherche des coquilles si j’ai compris)
La racine carrée du carré est un gag ou bien … ?
dSP a écrit:
[quote=« omamar3131 »]
dSP, je ne vois pas. (l’exercice consiste en la recherche des coquilles si j’ai compris)
La racine carrée du carré est un gag ou bien … ?
[/quote]
Je pense que la somme est comprise dans la racine comme ça ça passe avec une ICS 
Edit : en fait non
emmo a écrit:
Exo 4:
soit P \in \mathbb{C}[X] tel que $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}est à coefficients dans \mathbb{Q}$
C’est le genre d’énoncé qu’on donne à Louis Le Grand ? Effectivement, c’est dur là-bas…
dSP a écrit:
[quote=« omamar3131 »]
dSP, je ne vois pas. (l’exercice consiste en la recherche des coquilles si j’ai compris)
La racine carrée du carré est un gag ou bien … ?
[/quote]
Non, c’est pour prendre la valeur absolue.
bourricot a écrit:
[quote=« emmo »]
Exo 4:
soit P \in \mathbb{C}[X] tel que $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}est à coefficients dans \mathbb{Q}$
C’est le genre d’énoncé qu’on donne à Louis Le Grand ? Effectivement, c’est dur là-bas…
[/quote]
C’est un classique, il n’y a pas qu’à LLG qu’on donne ce genre d’exo. 
bourricot a écrit:
[quote=« emmo »]
Exo 4:
soit P \in \mathbb{C}[X] tel que $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}est à coefficients dans \mathbb{Q}$
C’est le genre d’énoncé qu’on donne à Louis Le Grand ? Effectivement, c’est dur là-bas…
[/quote]
On écrit que P prend n+1 valeurs rationnelles en n+1 rationnels distincts où n est son degré et on identifie P comme le polynôme interpolateur correspondant, qui est à coefficients dans Q 
Edit : en fait je viens de comprendre : la remarque de Bourricot était ironique, il critiquait à juste titre la formulation de l’énoncé.
Je tiens a dire que Calamity est a Lakanal 
bourricot a écrit:
C’est le genre d’énoncé qu’on donne à Louis Le Grand ? Effectivement, c’est dur là-bas…
Il faudrait surtout demander à emmo de faire un effort pour écrire des énoncés qui ont un sens en français… Sinon, Calamity a donné la solution classique.
Chnouillette a écrit:
Je tiens a dire que Calamity est a Lakanal 
Euh je suis ici incognito 
Eti-N a écrit:
[quote=« bourricot »]
C’est le genre d’énoncé qu’on donne à Louis Le Grand ? Effectivement, c’est dur là-bas…
Il faudrait surtout demander à emmo de faire un effort pour écrire des énoncés qui ont un sens en français…
[/quote]
+1 même si on comprend quand même
omamar3131 a écrit:
[quote=« bourricot »]
[quote=« emmo »]
Exo 4:
soit P \in \mathbb{C}[X] tel que $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}est à coefficients dans \mathbb{Q}$
C’est le genre d’énoncé qu’on donne à Louis Le Grand ? Effectivement, c’est dur là-bas…
[/quote]
C’est un classique, il n’y a pas qu’à LLG qu’on donne ce genre d’exo.
[/quote]
Alors c’est inquiétant .
Calamity a écrit:
On écrit que P prend n+1 valeurs rationnelles en n+1 rationnels distincts où n est son degré et on identifie P comme le polynôme interpolateur correspondant, qui est à coefficients dans Q
Quelle est la question ? Où est f ?
Eti-N a écrit:
Sinon, Calamity a donné la solution classique.
A un énoncé faux ? Ce n’est pas bien difficile 
.
Calamity a écrit:
+1 même si on comprend quand même
Ah ???
Attention si les oraux ne sont pas encore passés. Devant un tel énoncé, fuyez !
Eti-N a écrit:
Il faudrait surtout demander à emmo de faire un effort pour écrire des énoncés qui ont un sens en français…
Et dire qu’il y a un topic récent qui parle de la mauvaise utilisation des quantificateurs au lycée 
…
