Bonsoir,
ça sent le plagiat 
Bref, comme l’autre topic destinés pour les MP* ( que je consulte, même si je n y capte pas grand chose ) j’ai pensé à quelque chose de faisable pour nous, les sup.
Pour lancer, je propose cet exo :
r \ un \ reel\ tel\ que\ 0<r<1 . On \ considere \ la \ suite U_{n}\ tel\ que :
0< U_{0} < U_{1} et \forall n\in \mathbb{N}\ U_{n+2}= U_{n+1}+ r^{n+1}U_{n}}
Montrer\ que\ cette\ suite\ est\ convergente.
U_n est croissante, donc U_{n+2} \le U_{n+1} (1+r^{n+1}) donc U_{n+2} \le U_1 \prod_{k=1}^{n+1} {(1+r^k)} qui converge car son log converge car log(1+x) \le x.
Donc U_n est croissante et majorée, donc converge.
Salut,
On considère une suite arithmétique infinie d’entiers. On suppose qu’elle contient un cube et un carré. Montrer qu’elle contient nécessairement une puissance sixième …
VeniVidiVici a écrit:
Salut,
On considère une suite infinie d’entiers positifs. On suppose qu’elle contient un cube et un carré. Montrer qu’elle contient nécessairement une puissance sixième …
Il manque pas une hypothèse par hasard ?
(u_0 = 9, u_1 = 27, \forall n \ge 2, u_n = 2 contredit ton énoncé).
Modifié !
Je connais l’exo, donc je laisse, mais par contre donner ça à des MP* c’est déjà vraiment difficile… alors à des MPSI…
Bah ceux qui sont en MP* c’est qu’ils étaient déjà bons, voire très bons à la base, donc s’ils peuvent le résoudre en MP*, ils peuvent le résoudre en MPSI … Je veux dire, c’pas le type d’exercice qui demande une méthode/réflexes particuliers qui l’on acquiert entre la Sup et la Spé. C’est justement ça son intérêt, en plus d’être assez surprenant dans ce qu’il y a à montrer. On peut résoudre cet exercice « seulement » avec le théorème des restes chinois, et il me semble qu’il est vu en Sup.
Après, bien entendu, ça reste un exercice difficile, quelque soit la classe.
Pas bien de donner des exos d’olympiade, bref, j’avais farmé un peu cela l’année dernière et je connais une solution possible. On peut rendre l’énoncé comme suivant :
\exists\ z \in \mathbb{Z}^*\ tel \ que z^2 \geq y\ et\ y^3 - x^2\ divise \ z^6-y^3
Les décompositions sont pénibles .. et c’est difficile.
Soit$\ A$ une partie non vide de \mathbb{R}. On appelle diamètre de \ A l’élement de \mathbb{R}\cup {+infinity}, défini par :
\delta (A)=sup_{(x,y)\in A^2}|x-y |
Montrer que A est bornée ssi son diamètre est fini, et qu’on a dans ce cas : \delta \ (A)=sup_ (A)-inf_ (A)
Soit \mathbb{K} un corps fini. On note p l’ordre de 1_{\mathbb{K}} dans le groupe (\mathbb{K},+).
Prouver que p est un nombre premier, et que \mathbb{K} contient un sous-corps isomorphe à \mathbb{F}_p. En déduire qu’il existe un entier n tel que Card \mathbb{K} = p^n.
VeniVidiVici, je suis désolé de te décevoir, mais le théorème des restes chinois n’est pas au programme de la prépas directement, il est plutôt vu en TD pour la plupart ou pas du tout. En sus, ne croit que les MP* sont des torches en maths 
Sinon, j’ai vu dans exo, j’ai trouvé une solution lorsque le deux entiers qui caractérisent la progression arithmétique sont premiers entre eux (via Bézout), pour l’autre cas, je sens que c’est difficile, d’ailleurs tu l’as pioché des OIM 1997 .. 
Le cas lorsque la raison et u_0 sont premiers entre eux se traite effectivement avec Bachet-Bézout. Il reste le cas où ils ne sont pas premiers entre eux, et là ça devient intéressant.
Je ne savais pas que cet exercice était tombé à une OIM. C’est mon voisin, un ex-normalien à la retraite qui me « coach », qui me l’a passé.
Après vérification, il n’est pas tombé l’OIM 1997 : maths-express.com/bacs/index.php?n=IMO.1997
VeniVidiVici a écrit:
Le cas lorsque la raison et u_0 sont premiers entre eux se traite effectivement avec Bachet-Bézout. Il reste le cas où ils ne sont pas premiers entre eux, et là ça devient intéressant.
Je ne savais pas que cet exercice était tombé à une OIM. C’est mon voisin, un ex-normalien à la retraite qui me « coach », qui me l’a passé.
Après vérification, il n’est pas tombé l’OIM 1997 : maths-express.com/bacs/index.php?n=IMO.1997
Il date bien de 97, c’est un SL.
Ah d’accord. Bah Olympiade ou non, ça n’enlève rien au fait que ça reste un exercice très stimulant et surtout joli.
Bon, je suis peut-être allé un peu fort, voici un autre exercice (olympiade aussi ?) que j’ai trouvé un peu moins difficile (enfin, pour la première question, pour la deuxième, j’y planche toujours, je pense quand même détenir quelque chose, wait & see). Encore de l’arithmétique par contre, de toute façon, ce sont les exercices les plus jolis …
On se fixe un naturel N et on considère l’équation suivante dans \mathbb{N}^4 :
x^2 + y^2 + z^2 + t^2 - Nxyzt - N = 0
Montrer qu’il existe une infinité de naturels N tels que l’équation admette une infinité de solutions.
On pose$N=4^k(8m+7)$. Montrer que l’équation n’admet aucune solution.
Niveau difficulté c’est la même qu’en haut
Et la deuxième question est vraiment difficile, je n’ai pas de solution.
Pour quelque chose qui cible plus que les deux précédents le programme de MPSI et qui est un peu plus faisable :
Montrer que \displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \sum_{k=0}^{+\infty}\left \lfloor \frac{x + 2^k}{2^{k+1}} \right \rfloor = \lfloor x \rfloor.
Un autre tiré des OIMs , trivial .
Il suffira d’avoir en tête :pour tout x de R \left \lfloor 2x \right \rfloor = \lfloor x \rfloor+\lfloor x +\frac{1}{2}\rfloor le reste est facile .
compol a écrit:
Soit \mathbb{K} un corps fini. On note p l’ordre de 1_{\mathbb{K}} dans le groupe (\mathbb{K},+).
Prouver que p est un nombre premier, et que \mathbb{K} contient un sous-corps isomorphe à \mathbb{F}_p. En déduire qu’il existe un entier n tel que Card \mathbb{K} = p^n.
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} n’est pas au programme de sup.
Encore des parties entières, sympa !
La forme de la partie entière nous incite à travailler un peu sur les parties entières du type E(r + \frac{1}{2})\,, r \in\mathbb{R}. On décompose r sous la forme : r = E(r) + \left\{ r\right\}, avec 0\leq \left\{ r\right\} < 1.
E(E(r) + \left\{ r\right\} + \frac{1}{2}) = E(r) + E(\left\{ r\right\} + \frac{1}{2})
Or il est clair que E(\left\{ r\right\} + \frac{1}{2}) = E(2\left\{ r\right\} ) = E(2r - 2E(r)) = E(2r) - 2E(r)
D’où : E(r + 1/2) = E(2r) - E(r)
En posant r = x/2^{k+1}, on somme jusqu’à n : on obtient alors une suite télescopique = E(x) - E(x/2^n). On fait tendre n vers plus l’infini et c’est bon …
EDIT : Devancé …
Pas grave .
Sinon , je crois que ça va tourner en un marathon d’olympiades ici … et je suis sûr que Phi ne souhaite pas cela , non Phi ?
Bah perso j’ai interprété le mot « sympa » comme « exercice qui sort de l’ordinaire & difficile ». A un moment donné, on devra donc forcément mettre des exercices d’olympiades je pense …