Bonsoir,
Merci pour les précisions, maintenant je comprends mieux ce que tu essayais de faire.
henri a écrit:
En définitive, je n’ai jamais dit contrairement à ce que vous prétendez, que la dérivée de f’ ne peut pas s’annuler.
J’ai lu « f’ garde un signe constant » et j’ai donc dit qu’il est tout à fait possible que f’ s’annule en changeant de signe.
Je dis juste que f’ est continue, non nulle, et si je me place en un point où f’ est non nulle (ou de manière équivalente où f est non nulle) alors je sais résoudre l’équation sur un voisinage de ce point où la fonction sera encore non nulle.
Ok. Donc tu voulais en fait dire que « f’ ne change pas de signe dans un voisinage de a».
Je fais cette constatation très honnêtement : c’est vrai qu’en relisant ton message à la lueur des explications que tu donnes maintenant, je comprends que c’est ce que tu voulais dire. Mais initialement, ce n’était pas le cas.
Dans la mesure où x_0 n’était pas défini, j’ai regardé la conclusion pour voir ce que tu souhaitais démontrer à son propos. La conclusion étant « f’ garde un signe constant », je me suis dit que le plus plausible est que x_0 est un point où f’ s’annule, et on essaie de montrer que le signe de f’ ne change pas autour de x_0. D’où mes remarques sur l’annulation avec changement de signe. Évidemment, la preuve n’avait alors aucun sens.
Merci pour les conseils, mais je n’ai rien dit de faux…
Quelque chose qui n’est pas clair est-il vrai ou faux ? Les conseils sont là pour vous aider à devenir meilleurs.
Watza a écrit:
Suffit de remarquer que :
2\biggl( |\frac {z+z'}{2} - u| + |\frac {z+z'}{2} + u| \biggr )=|z-z'|^2+|z+z'|^2=(z-z')(\overline{z-z'})+(z-z')(\overline{z+z'})=2z\overline{z}+2z'\overline{z'}
Tiens, je n’y avais pas pensé ! Cette méthode est même un peu plus rapide 
J’ai regardé les autres exercices, ils sont très intéressants, je suis en train d’y réffléchir.
En attendant, un petit autre :
Déterminer les polynomes L_j(x) de R_{n-1}[X] tq L_j(\alpha _j) = \delta _{i,j}
On s’était donc mal compris…
David.Lecomte a écrit:
Les conseils sont là pour vous aider à devenir meilleurs.
En ce qui me concerne, la prépa et les concours, c’est derrière moi…
Shy a écrit:
Déterminer les polynomes L_j(x) de R_{n-1}[X] tq L_j(\alpha _j) = \delta _{i,j}
Ce sont les polynômes interpolateurs de Lagrange, dont l’existence et l’unicité est garantie par l’isomorphisme (les alpha_i sont supposés deux à deux distincts):
\mathbb{R}_{n-1}[X] \to \mathbb{R}^n \, \, P \mapsto (P(\alpha_1), ... , P(\alpha_n)).
C’est bien un morphisme injectif (un polynôme sur un corps, de degré n a au plus n racines) donc bijectif (cf dimensions).
L’expression des polynômes que tu cherches est : L_i(X) = \lambda_i^{-1} \prod_{j \neq i} (X-\alpha_j), \, \, \lambda_i = \prod_{j \neq i} (\alpha_j-\alpha_i) (au signe près).
Philippe PATTE a écrit:
[quote=« elrohir »]
le 2eme sur les complexes je lavai fait au debut de lannée je sais pa si jai encore la correction.
j’en ai un marrant sur les nb reels a faire mais je vois pas comment partir:
montrer que parmi 13 reels distincts, on peut toujours en trouver 2, disons x et y tels que:
0<(x-y)/(1+xy)<2-sqrt(3)
\tan(a-b)=\frac{\tan a -\tan b}{1+\tan a\tan b}
[/quote]
j’avais pensé a utilisé la tangente mais je ne vois pas a quoi cela sert qu’il y ait 13 reels distincts
Woaw, l’équa diff est très formatrice.(pour moi en tout cas) Mais qu’est-ce que c’est que « C° » ? L’ensemble des fonctions continues ? Je ne comprends pas très bien ( 
) ce que veut dire fermé par C°.
elrohir a écrit:
j’avais pensé a utilisé la tangente mais je ne vois pas a quoi cela sert qu’il y ait 13 reels distincts
Si x1, …,x13 sont les 13 réels on pose xi=tan ai avec ai dans ]-Pi/2,Pi/2[.
Il faut trouver a et b parmi les ai tq 0<tan(a-b)<2-sqrt(3) soit 0<a-b<Pi/12.
Si on range les ai par ordre croissant, en supposant que la conclusion est fausse on a a2-a1>=Pi/12, et a13-a1>=Pi ce qui est impossible.
Watza a écrit:
Woaw, l’équa diff est très formatrice.(pour moi en tout cas) Mais qu’est-ce que c’est que « C° » ? L’ensemble des fonctions continues ? Je ne comprends pas très bien ( 
) ce que veut dire fermé par C°.
Si f est nulle sur ]a,b[, comme f est continue, ie f(x)tend vers f(a) quand x tend vers a, f(a)=0. De même, f(b)=0.
exercice qui je ne sais pourquoi me plait bcp sur les nombres réels:
Montrer que: \textrm\forall n \in \mathbb{N^{*}} (1+\frac{1}{n})^{n} < 3
Puisque vous en êtes aux polynômes, voici un exo:
Etant donné un polynôme P a coefs comlexes, on note R(P) l’ensemble des racines comlexes de P.
Soit (P,Q)\in ( \mathbb{C} [X]-\mathbb{C}_0[X] )^2 tq R(P)=R(Q) et \ R(P-1)=R(Q-1) , montrer que P=Q .
john_kennedy a écrit:
exercice qui je ne sais pourquoi me plait bcp sur les nombres réels:
Montrer que: \textrm\forall n \in \mathbb{N^{*}} (1+\frac{1}{n})^{n} < 3
Ben (1+\frac{1}{n})^{n} \to e <3 en croissant.
Ben (1+\frac{1}{n})^{n} \to e <3 en croissant.
Encore faut il prouver cette croissance? (enfin elle est pas évidente, vu de mes petits yeux de sup’)
Une démonstration par récurrence et avec notre ami Newton s’impose, me semble-t-il 
Pour les amateurs de comparaison:
un exo facile si on voit l’astuce… (comme d’hab me direz vous)
Montrer que \textrm\forall n\in\mathbb{N^{*}} n\geq3 \sqrt{n}<^{n}\sqrt{n!}
john_kennedy a écrit:
Ben (1+\frac{1}{n})^{n} \to e <3 en croissant.
Encore faut il prouver cette croissance? (enfin elle est pas évidente, vu de mes petits yeux de sup’)
Une démonstration par récurrence et avec notre ami Newton s’impose, me semble-t-il 
Il faut surtout donner les prérequis.
exp(1/n)>1+(1/n) et on élève à la puissance n.
Sans la fonction exponentielle, c’est un peu plus sportif.
Pour les amateurs de comparaison:
un exo facile si on voit l’astuce… (comme d’hab me direz vous)
Montrer que \textrm\forall n\in\mathbb{N^{*}} n\geq3 \sqrt{n}<^{n}\sqrt{n!}
Je n’ai pas envie de parler d’astuce ici.
Si vous ne voulez pas parler d’astuce, parlons alors de « il suffit de voir que… » 
Philippe PATTE a écrit:
[quote=« KaiM »]
Je serais intéressé par une solution niveau sup, parce que pour ma part, je m’en suis pas sorti sans utiliser quelques résultats du cours de topologie de spé…
Difficile de s’en passer.
[/quote]
Si on utilise le cours de spé, autant invoquer Cauchy Lipschitz il me semble
JeanN a écrit:
[quote=« Philippe PATTE »]
[quote=« KaiM »]
Je serais intéressé par une solution niveau sup, parce que pour ma part, je m’en suis pas sorti sans utiliser quelques résultats du cours de topologie de spé…
Difficile de s’en passer.
[/quote]
Si on utilise le cours de spé, autant invoquer Cauchy Lipschitz il me semble
[/quote]
Je ne vois pas trop comment… L’équation n’est pas sous la forme f’ = …
De plus on a même pas l’unicité puisque la fonction nulle et la fonction x-> (x-a)² sont solutions et coïncident en a…
john_kennedy a écrit:
Montrer que \textrm\forall n\in\mathbb{N^{*}} n\geq3 \sqrt{n}<^{n}\sqrt{n!}
J’allais le faire par récurrence mais comme tu as parlé d’astuce …
Est-ce celle-là ?
n!^2 = (1* n) * (2 (n-1)) * .... ((n-1) 2) (1* n)
Ensuite :
k * (n-k) \geq n (ça peut se réécrire (k-1)*(n-k) \geq 0)
Il y a toujours n facteurs (que n soit par ou impair) et la conclusion suit
john_kennedy a écrit:
Ben (1+\frac{1}{n})^{n} \to e <3 en croissant.
Encore faut il prouver cette croissance? (enfin elle est pas évidente, vu de mes petits yeux de sup’)
C’est facile, la fonction x \to (1+x)^{1/x}=\exp(\frac{1}{x} \ln(1+x)) est décroissante (il suffit de la dériver).
Etant donné un polynôme P a coefs comlexes, on note R(P) l’ensemble des racines comlexes de P.
Soit (P,Q)\in (\mathbb{C}[X]-\mathbb{C}_0[X])^2 \text{ tq } R(P)=R(Q) \text{ et } R(P-1)=R(Q-1) , montrer que P=Q .
Très très joli (et coriace …).
On sent bien qu’il faut introduire la dérivée quelque-part …
Si d°P >= d°Q : A(X) = P’(X) (P(X) - Q(X))
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d°A <= 2*d°P-1
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si x est une racine de P de multiplicité a c’est une racine de P’ de multiplicité a-1 et c’est aussi une racine de P-Q. x est donc une racine de A de multiplicité au moins a aussi.
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pareil pour P-1 et Q-1 : si x est une racine de P-1 de multiplicité a c’est une racine de P’ de multiplicité a-1 et c’est aussi une racine de P-Q=(P-1)-(Q-1). x est donc une racine de A de multiplicité au moins a aussi.
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les racines de P et de P-1 sont différentes et …
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là ça commence à vraiment faire un peu trop de racines pour A (au moins 2*d°P)!