Exos sympas (MPSI)

Questions/Réponses par disciplines Mathématiques
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Salut

Il y a déjà un topic pour les spé alors je propose d’en faire un pour les sup :slight_smile:
Si vous avez des exos (de khôlle ou bien DS …) que vous trouvez interessants, n’hésitez pas à venir les poster !
Ce serait bien de mettre le nom du chapitre au début du message pour faciliter la lecture :wink:

Bon allez, je commence :

Complexes :

Résoudre l’éq \sum_{k=0}^n \frac{ \cos(kx)}{\cos(x)^k} = 0

Soient z,z’ dans C, on considère u tq u²=zz’
Mq : |z| + |z'| = |\frac {z+z'}{2} - u| + |\frac {z+z'}{2} + u|

Espaces vectoriels :

Soient u,v,w trois vecteurs d’un K-ev.
Mq Vect(u,v) = Vect(u,w) \Leftrightarrow \exists (a,b,c) \in K^3 / bc \neq 0 ,\,et \,\,au + bv + cw = 0

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Symphas :smiley:

Moi j’ai un exo :

Suites

Prouver la convergence et donner la limite de
u_n = (1+k)(1+k^2)(1+k^4)...(1+k^{2n}) Sachant que k est une constante de ]0;1[ .

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  1. Tentative d’ébauche…

\sum_{k=0}^n{\frac{cos(kx)}{cos(x)^k}
Or,

\frac{cos(kx)}{cos(x)^k}=\R(\frac{e^{ikx}}{cos(x)^k})

Or, \frac{e^{ix}}{cos x}=1+i \tan x

D’où, \sum_{k=0}^n{\frac{e^{ikx}}{cos(x)^k}=\sum_{k=0}^n (1+i \tan x)^k=\frac{1-(1+i\tan x)^{n+1}}{-i \tan x}

De plus, -1+(1+i\tan x)^{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}{{n \choose k}(i\tan x)^k}
Et pis ensuite j’imagine qu’on fait des cas selons la parité de n, ce qui nous permet de faire la somme et on prend la parti réelle. Je me trompe ? (la flemme de continuer)

L’autre :

|z| + |z'| = |\frac {z+z'}{2} - u| + |\frac {z+z'}{2} + u|

Suffit de remarquer que :
2\biggl( |\frac {z+z'}{2} - u| + |\frac {z+z'}{2} + u| \biggr )=|z-z'|^2+|z+z'|^2=(z-z')(\overline{z-z'})+(z-z')(\overline{z+z'})=2z\overline{z}+2z'\overline{z'}
A mon tour :
Soit f dérivable de \mathbb{R} dans \mathbb{R} telle que : \lim_{x \to +\infty} f'(x)=l, l\in \mathbb{R}. Démontrer que \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=l. Réciproque ?

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Tonio89 a écrit:

Symphas :smiley:

Moi j’ai un exo :

Suites

Prouver la convergence et donner la limite de
u_n = (1+k)(1+k^2)(1+k^4)...(1+k^{2n}) Sachant que k est une constante de ]0;1[ .

Bon il est tard, mais si on s’interesse à u_{n}*(1-k) ca devrait vite etre conclu ou je n’y suis pas?

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Soit f dérivable de \mathbb{R} dans \mathbb{R} telle que : \lim_{x \to +\infty} f'(x)=l, l\in \mathbb{R}. Démontrer que \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=l. Réciproque ?
Quitte à remplacer f par f- l*x on peut supposer que l=0 ('stuce classique mais toujours pratique).

Soit e > 0 et x0, x >= x0 => |f’(x)| < e/2
Soit x > x0, f(x)/x = f(x0)/x + (x-x0)/x * f’(c) avec x < c <x0 (TAF)

Pour x > x1 > x0, |f(x0)/x| < e/2

Donc pour x > x1, |f(x)/x| < e et la conclusion suit.

A moi

Trouver tous les f dérivables de R dans R telles que (f’)² = 4f

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john_kennedy a écrit:

[quote=« Tonio89 »]
Symphas :smiley:

Moi j’ai un exo :

Suites

Prouver la convergence et donner la limite de
u_n = (1+k)(1+k^2)(1+k^4)...(1+k^{2n}) Sachant que k est une constante de ]0;1[ .
Bon il est tard, mais si on s’interesse à u_{n}*(1-k) ca devrait vite etre conclu ou je n’y suis pas?
[/quote]

Oui c’est ça

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On a donc f positive continue, donc vu l’équation, f est de classe C^1 (on passe à la racine).
0 est solution évidente, on l’exclut par la suite. C’est la seule solution constante.
On se ramène donc, à |f’|=2 sqrt(f). Alors, en se dans un voisinage sur lequel f’ est de signe constant (on peut toujours trouver cela car f’ est non nulle et continue). L’équation se transforme en f’=2 sqrt(f) (ou l’opposé, mais ça ne change rien) qui est une équation à variables séparables, et comme f est non nulle sur le voisinage choisi, l’intégration donne :
\sqrt{f(t)} - \sqrt{f(t_0)} = t-t_0 d’où la solution localement, qu’on raccorde ensuite.

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J’aurai pas pensé pour la convergence de la suite… :stuck_out_tongue: Bj john.

Trouver tous les f dérivables de R dans R telles que (f’)² = 4f

f est au moins deux fois dérivables…

De plus, en dérivant l’équation on a :
2f''f'=4f' \Longleftrightarrow f''f'=2f'

Mais ensuite, je n’arrive pas bien à procéder pour heu l’étude de f : pour simplifier par f’ faudrait être sûr que f’ ne s’annule qu’en un nombre de points finis.(ou pas ? ça deviendrait un peu nawak le raccordement de fonctions sinon…)

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je vois pas pourquoi, a priori, la fonction est deux fois dérivable, vu que tu sais juste que |f’| = 2 sqrt(f), qui n’est pas dérivable si f s’annule quelque part.

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henri a écrit:

On a donc f positive continue, donc vu l’équation, f est de classe C^1 (on passe à la racine).
0 est solution évidente, on l’exclut par la suite. C’est la seule solution constante.
On se ramène donc, à |f’|=2 sqrt(f). Alors, en se dans un voisinage sur lequel f’ est de signe constant (on peut toujours trouver cela car f’ est non nulle et continue). L’équation se transforme en f’=2 sqrt(f) (ou l’opposé, mais ça ne change rien) qui est une équation à variables séparables, et comme f est non nulle sur le voisinage choisi, l’intégration donne :
\sqrt{f(t)} - \sqrt{f(t_0)} = t-t_0 d’où la solution localement, qu’on raccorde ensuite.

C’est plus subtil (et plus intéressant) que ça (edit : et henri a tout à fait raison).

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henri a écrit:

On a donc f positive continue, donc vu l’équation, f est de classe C^1 (on passe à la racine).
Est-ce si simple ?
d’où la solution localement, qu’on raccorde ensuite.

Même question.

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Philippe PATTE a écrit:

[quote=« henri »]
On a donc f positive continue, donc vu l’équation, f est de classe C^1 (on passe à la racine).
Est-ce si simple ?
[/quote]

On sait que f est dérivable, donc d’après le théorème de Darboux, l’image d’un intervalle est un intervalle. Comme |f’| est continue, on a :
x \in ]x_0-h,x_0+h[ \Rightarrow ||f'(x)|-|f'(x_0)||< \epsilon.
Ensuite, je prends \epsilon = |f'(x_0)|/2, la continuité étant facile aux points d’annulation de f’. On en déduit sur ce voisinage de x_0 : |f'(x)| \geq |f'(x_0)|/2 donc le théorème de Darboux garantit que f’ garde un signe constant. On peut donc enlever les valeurs absolues ce qui prouve la continuité.

D’autre part, pour cette équation, on pourrait aussi appliquer les résultats généraux des équations de Lagrange qui disent que les solutions sont les raccords de solutions affines (ici il n’y en a pas) et des solutions C^2, qu’on sait paramétrer.

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henri a écrit:

On sait que f est dérivable, donc d’après le théorème de Darboux, l’image d’un intervalle est un intervalle. Comme |f’| est continue, on a :
x \in ]x_0-h,x_0+h[ \Rightarrow ||f'(x)|-|f'(x_0)||< \epsilon.
Qui est x_0 ?
la continuité étant facile aux points d’annulation de f’.
La continuité de qui ? f' ? Sa continuité est facile partout, pourquoi faire une mention particulière des points où elle s’annule ?
On en déduit sur ce voisinage de x_0 : |f'(x)| \geq |f'(x_0)|/2 donc le théorème de Darboux garantit que f’ garde un signe constant.

Cela ne me paraît pas très clair, notamment le « donc ». J’imagine que, si je savais qui est x_0 et ce qu’il est censé vérifier, je comprendrais peut-être. Si f'(x_0)=0, est-ce que tout cela (que ne comprends pas) ne tombe pas à l’eau ?

Voici un fait (qui est vrai et que tu pourrais démontrer au cours de la résolution de l’exercice) : si f est une solution du problème, sa dérivée peut s’annuler et change de signe ; la conclusion à laquelle tu es arrivé est donc fausse.

Si je peux me permettre de prodiguer, en tant qu’enseignant, quelques petits conseils :

  • Définis proprement les objets que tu manipules.
  • Assure-toi que ce que tu dis est indiscutablement vrai.
  • Précipite-toi moins ; les exercices d’équations différentielles non linéaires sont parmi les plus subtils à rédiger, c’est pour ceux-là qu’il faut donc faire un effort particulier.

[Edit : Faute d’orthographe.]

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C’est un exo niveau sup, Darboux n’est pas sensé être connu, même si …

Il est plus délicat qu’il n’a en l’air et j’en connais pas mal qui se sont trompés !

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le 2eme sur les complexes je lavai fait au debut de lannée je sais pa si jai encore la correction.
j’en ai un marrant sur les nb reels a faire mais je vois pas comment partir:
montrer que parmi 13 reels distincts, on peut toujours en trouver 2, disons x et y tels que:

0<(x-y)/(1+xy)<2-sqrt(3)

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ThSQ a écrit:

C’est un exo niveau sup, Darboux n’est pas sensé être connu, même si …

Il est plus délicat qu’il n’a en l’air et j’en connais pas mal qui se sont trompés !

Je serais intéressé par une solution niveau sup, parce que pour ma part, je m’en suis pas sorti sans utiliser quelques résultats du cours de topologie de spé…

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elrohir a écrit:

le 2eme sur les complexes je lavai fait au debut de lannée je sais pa si jai encore la correction.
j’en ai un marrant sur les nb reels a faire mais je vois pas comment partir:
montrer que parmi 13 reels distincts, on peut toujours en trouver 2, disons x et y tels que:

0<(x-y)/(1+xy)<2-sqrt(3)

\tan(a-b)=\frac{\tan a -\tan b}{1+\tan a\tan b}

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KaiM a écrit:

Je serais intéressé par une solution niveau sup, parce que pour ma part, je m’en suis pas sorti sans utiliser quelques résultats du cours de topologie de spé…

Difficile de s’en passer.
Si f est dérivable sur [a,b] et si f’(a).f’(b)<0, alors il existe c entre a et b tel que f’(c)=0.

Soit f une solution non identiquement nulle, x_0 un point où f n’est pas nulle et (a,b) le plus grand intervalle contenant x_0, mais aucun zéro de f.
Alors a=-oo ou f(a)=0 ; de même, b=+oo ou f(b)=0. Donc (a,b)=]a,b[.
D’autre part, sur ]a,b[, f et f’ ne s’annule pas, donc sont de signe constant, f par continuité, f’ d’après le résultat rappelé au-dessus (Darboux).

Cas 1 : Si f’>0 sur ]a,b[, f est croissante et b=+oo. On résout l’équation par séparation de variable : f(x)=(x-Cste)^2. On en déduit que a est fini et que Cste=a.

Cas 2 :Si f’<0 sur ]a,b[, un raisonnement analogue conduit à : a=-oo, b fini et f(x)=(x-b)^2.

Dans les deux cas : un intervalle non borné.

Intuitivement, on voit les raccordements possibles : 0 partout, 0 puis (x-a)^2, (x-b)^2 puis 0, (x-b)^2 puis 0 puis (x-a)^2, (x-a)^2 partout.

Je reprends le cas 1. Soit f est nulle sur ]-oo,a] et on est en présence du second type de raccordement.
Soit f n’est pas partout nulle sur ]-oo,a] ; on pourra trouver b<a tel que sur ]-oo,c[ f(x)=(x-c)^2. Comme sur [a,b] on ne peut caser d’intervalle non borné, f y est nulle. Le cas a=b correspond au raccordement du dernier type, le cas a>b au raccordement du quatrième type.

On termine le cas 2 de même.

Et on fait une synthèse.

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KaiM a écrit:

Je serais intéressé par une solution niveau sup

J’ai fait comme ça (sans Darboux) :

A = {x € IR, f(x) = 0 }

1- **A est un intervalle fermé
**
A est clairement fermé par C° de f.

Si a < c < b et f(a) = f(b) = 0 et f(c) # 0 (et donc f’(c) # 0)

a- si f(c) > 0 et f’(c) > 0 alors f admet un maximum sur [c;b] en d avec f(d) >= f(c) > 0
mais alors f’(d) = 0 et f(d) = 0 et contradiction
b- si f(c) > 0 et f’(c) < 0 alors f admet un maximum sur [a;c] en d avec f(d) >= f(c) > 0
mais alors f’(d) = 0 et f(d) = 0 et contradiction
c - pareil pour le cas f(c) < 0

A est donc un intervalle.

2-1 A = Ø

f ne s’annule jamais et donc f’ non plus. f est donc nécessairement injective (si f(a)=f(b), f’ s’annule entre a et b)
injective + C° => monotone et f’ garde un signe constant.

2-1-1** f’ > 0**
f’/2sqrt(f) = 1 => f = (x+a)² et pas de solution

2-1-2 f’ < 0
f’/2sqrt(f) = -1 = > sqrt(f) = a-x et pas de solution sur IR

2-2 A = [a;b]
Raisonnement analogue
f(x) = (x-a)^2 si x < a
f(x) = (x-b)^2 si x > b

2-3 A = ]-oo,a]
f(x) = (x-a)^2 si x > a

2-3 A = [a,+oo[
f(x) = (x-a)^2 si x > a

2-4 A = {a}
f(x) = (x-a)^2

3 A = IR …

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@ David Lecomte : Je veux montrer la continuité de f’, qu’on sait vérifier |f'| = 2 \sqrt(f). On fixe e>0.
Sa continuité n’est pas évidente car racine n’est pas dérivable en 0, et f peut s’annuler.
Cependant, si f s’annule en un point a, alors f’ aussi, et donc le critère de continuité de f’ s’écrit |f'(a+h)-f'(a)|<e équivalent à |f'(a+h)|<e ou encore à \sqrt(f(a+h))<e/2 vrai par continuité de f et de racine.
Maintenant, si f’(a) est non nul, alors je réutilise mon raisonnement avec le théorème de Darboux (a<->x_0).

En définitive, je n’ai jamais dit contrairement à ce que vous prétendez, que la dérivée de f’ ne peut pas s’annuler.
Je dis juste que f’ est continue, non nulle, et si je me place en un point où f’ est non nulle (ou de manière équivalente où f est non nulle) alors je sais résoudre l’équation sur un voisinage de ce point où la fonction sera encore non nulle.
Se pose après le problème des raccords, qui est un problème indépendant.

Merci pour les conseils, mais je n’ai rien dit de faux…