Bonsoir à tous,
étant en sup cette année, on a commencé les matrices il y a une petite semaine, et je dois avouer qu’il y a pas mal de notions que le prof présente comme élémentaires et que je ne comprends pas du tout: matrices d’endomorphismes, matrices de passage…
Ce que j’aimerais également avoir, c’est une approche plus pratique des matrices: concrètement, ça sert à quoi d’exprimer un endomorphisme sous forme d’une matrice?
Le truc qui m’embête, c’est qu’on commence à aborder les exos un peu plus pointus alors que je rame sur la base donc bon…
Existe-t-il un site, une page, un livre (« Les matrices pour les nuls », ça existe pas? 
) permettant d’expliquer ce chapitre en partant vraiment du tout début?
Surtout que d’après ce que j’ai cru comprendre, les matrices ne vont plus nous quitter jusqu’au concours…
Le_fox a écrit:
concrètement, ça sert à quoi d’exprimer un endomorphisme sous forme d’une matrice?
…j’ai un lien et un truc que je viens juste de lire mais j’essaie de formuler sans dire trop de bêtises… ben…euh… ça permet de caractériser l’endomorphisme à l’aide d’une matrice… l’écriture ainsi exprimée est « caractéristique de toutes les applications linéaires de dimension finie »!! 
bon, un lien, c’est sur les applications linéaires, mais il y a un truc qui pourrait t’intéresser fin page 1-début page 2 :
regarde le bouquin J’integre de dunod il est pas mal…
et oui ta raison ca va plus te quitter jusqu’au concours !!!
mais en gros dit toi que une matrice c’est juste un outil… un endomorphisme est totalement caracteriser par sa matrice par rapport a une base et pour la matrice de passage c’est en fait une matrice qui te permet de passer d’une base B a une base B’ où surement ta matrice auras une forme plus chouette… et pour comprendre vite fait (j’ai mit un peu de temps en sup moi aussi 
(
Soit u un endomorphisme de E … et v un element de E.
Donc tu peut ecrire la matrice de v en le decomposant par ses coordonné dans la base.. et pour avoir la matrice de u dans la base tu calcul les image des vecteur de la base et tu les dispose un a coté de l autre ( les image biensur ) ensuite pour faire u(v) il ne te reste plus que a multuplié les matrice entre elles…
voila c’est pas tres claire mais regarde un chapitre de calcul matriciel
en voila un tres sympa c’est pour les mp mais si t pas en mp y a tout ce qui te faut quand meme…
Grossomodo une matrice, un coup d’oeil, une pensée(ou deux) et tu connais tout de l’endomorphisme !
Watza a écrit:
Grossomodo une matrice, un coup d’oeil, une pensée(ou deux) et tu connais tout de l’endomorphisme !
Voilà, c’est ce qu’on dit : une matrice est caractéristique de l’endomorphisme!!
Le_fox a écrit:
Ce que j’aimerais également avoir, c’est une approche plus pratique des matrices: concrètement, ça sert à quoi d’exprimer un endomorphisme sous forme d’une matrice?
Ben, plus concrètement : sais-tu, toi, ce qu’est un endomorphisme ? 
L’intérêt, c’est que ça permet de résoudre des tas de trucs théoriques sur les endomorphismes en faisant uniquement des calculs. Historiquement, on peut dire aussi que c’est les matrices qui ont été découvertes avant le concept d’endomorphisme…
ça a quelques autres avantages pratiques également; par exemple une composée d’endomorphisme se traduit par un produit de matrice.
Pour l’endomorphisme, je pense cerner correctement la définition et l’utilisation qu’on peut en faire pour démontrer certaines propriétés, donc de ce côté-là ça va.
Merci pour les liens postés, je les ai survolés vite fait, et je pense que ce sera une lecture très intéressante, car les matrices (corrigez-moi si je me trompe) semblent être un outil hyper puissant pour tout ce qui est algèbre linéaire.
Pour être toujours aussi vague mais peut-être plus compréhensible : l’intérêt de la notion de matrice une fois qu’on a celle d’endomorphisme, c’est que les deux trucs sont la même chose théoriquement, ce qui permet qu’un résultat juste pour les endomorphismes soit vrai pour les matrices, et réciproquement.
LightVador a écrit:
[quote=« Watza »]
Grossomodo une matrice, un coup d’oeil, une pensée(ou deux) et tu connais tout de l’endomorphisme !
Voilà, c’est ce qu’on dit : une matrice est caractéristique de l’endomorphisme!!
[/quote]
Oui car il existe un isomorphisme d’algèbres de L(E) sur Mn(K) (où n=dim(E)), lequel dépend d’une base de E.
Ainsi, se donner M, c’est se donner aussi un u correspondant de manière unique.
Cet isomorphisme traduit plein de choses : par exemple pourquoi la matrice de (v composé avec u) est égale au produit des matrices de u et de v (le tout relativement à une base)
Pour ce qui est de l’application « concrète » des matrices, je pense à quelques trucs mais je sais pas si c’est réellement concret ( )
en gros, on adore les diagonales 
, assez bien les triangulaires ou les symétriques, et les autres bah elles sont méchantes 
Le but c’est de les rendre gentilles via ces matrices de passage ! Tu verras ça en Spé, par la réduction des endomorphismes.
Juste une remarque :
on s’intéresse lourdement à l’algèbre linéaire en prépa ( endomorphisme , matrice , etc ) parce qu’ en pratique on sait bien calculer dans ce contexte !
Ainsi dans les sciences de l’ingénieur ( et sans doute en physique) on s’intéresse à ce qui se passe au voisinage d’un point , et on linéarise les équations d’évolution autour de ce point …
Par exemple en automatique ,on aboutit alors à des équations différentielles du 1er ordre dX/dt = A X + BU
ou X est représentatif de l’état du système ( un vecteur de n composantes)
A une matrice carré nxn
U un vecteur de commande (p composantes) et B une matrice nxp
Etudier les éléments caractéristiques de A ( ou de l’endomorphisme associé) permet par exemple d’intégrer facilement l’équation différentielle en déterminant les modes propres qui donneront l’allure du mode transitoire .
Par une commande par retour d’état(système asservi) c.a.d U=KX+V on peut changer les modes propres(par exemple amortir davantage un mode …) car l’équation devient :
dX/dt= (A+BK)X +BV et un choix judicieux de K permet de placer les valeurs propres .
Bref l’algèbre linéaire c’est joli en soi et en plus c’est utile !
Pour compléter ce qui a été dit, et de manière imagée, plaçons nous dans le cas de R.
Dans le cas de R, tu as les fonctions sympathiques, qui sont représentées par des droites :
y=ax+b.
On s’intéresse à celles qui passent par l’origine, car on passe aux autres par translations. Bref, on se limite à y=ax. Une telle équation c’est très sympathique, car d’un premier coup d’oeil tu sais tracer ta droite, ce qui n’est pas le cas d’une fonction f arbitraire : tracer le graphe de y=f(x) peut être long, voire délicat. Sur y=ax, on voit tout de suite si la fonction est croissante, décroissante, et ta droite est complètement caractérisée par le coefficient a. En effet, si je te donne l’équation f(x)=ax, tu peux calculer a en prenant a=f(1), et si réciproquement je te donne a, tu connais f(x)=ax. Au passage, si f(x)=ax et g(x)=bx, je peux calculer (f+g) en additionnant a et b et fog en multipliant a par b.
L’algèbre linéaire, c’est pareil. En fait, f(x)=ax représente un endomorphisme de R dans R. Quand tu munis chaque ensemble de réel de sa base formée de l’unique réel 1, la matrice dans la base est simplement le nombre a, puisque f(1)=(a)1=ax1=a. Tu vois que les opérations + et o passent par la somme et le produit des matrices de taille 1x1.
L’algèbre linéaire étant ce calcul aux fonctions qui dépendent de plusieurs variables. Les applications linéaires sont dans ce monde aussi triviales que les droites qui passent par l’origine. Représenter z=2x+3y dans l’espace, tu as certainement fait cela au lycée. Par contre, tu peux faire souffrir les taupins avec z=f(x,y) pour f non linéaire.
Et ce que te dit le dernier message, c’est que les applications linéaires donnent des informations « locales » très intéressantes. Tu sais en effet depuis la première que l’équation de la tangente à une courbe y=f(x) en a est f(a)+f’(a)(x-a) si f est dérivable en a. Ceci est une constante plus l’application linéaire f’(a)(x-a). Tu généraliseras cela durant tes deux années de prépas (la deuxième surtout) et en première année d’école. Après il y a des théorèmes difficiles pour la linéarisation. Celui dont il est parlé plus haut est complexe avec des hypothèses hardues, niveau 5ème année ; et quand on ne vérifie pas les hypothèses ou on ne les comprend pas, on risque d’aller dans le mur (une histoire qui a eu lieu sur un problème pratique de portance d’un pont, paraît-il). Mais cela est une autre histoire …
Oui les matrices c’est la vie.
LightVador a écrit:
[quote=« Watza »]
Grossomodo une matrice, un coup d’oeil, une pensée(ou deux) et tu connais tout de l’endomorphisme !
Voilà, c’est ce qu’on dit : une matrice est caractéristique de l’endomorphisme!!
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Ouai mais ça ne fait pas qu’être caractéristique ! Ca explicite tout. C’est pas parce que tu as le code barre d’un article que tu connais l’article !
Ne te laisse pas déborder par tous ces mathématiciens en chaleur, avec leurs explications endomorpho-excentriques… Ton prof de maths l’expliquera mieux après que vous ayez étudié certaines notions.
Une matrice, c’est des lignes et des colonnes (d’abord).
Ce sont des vecteurs que l’on a collé pour faire une matrice.
Ou, dans un cas plus général, c’est une espèce de vecteur de dimension 3x3 (au lieu de 3x1 pour les vecteurs usuels) - voire plus.
En sciences de l’ingénieur, ça nous sert à faire un calcul sur tout plein d’inconnues en même temps, au lieu de résoudre des systèmes d’équations. or, un systèmes d’équation est constitué d’inconnues (x,y,z.. ) que l’on considère vite fait bien fait comme… un vecteur !.
Après, en maths, on s’en sert effectivement pour « representer » un endomorphisme. ça sert à quoi? Concrètement, pour quelqu’un comme moi, ça sert déjà à voir la gueule qu’a l’endomorphisme… parce que certains endomorphismes ne sont pas tristes (et pas toutes exprimables à l’aide d’une matrice). Ensuite, les calculs deviennent très simples. (tu verras, ça a l’air abstrait - mais une matrice, c’est concret ! tu peux presque la toucher ! alors que les endomachins…) En plus, on peut faire des calculs sympas sur les endos (voir réponses précédentes) - qui peuvent être pratiques, avouons-le !
Finalement, no stress… Tout le monde a un jour ou l’autre galéré avec les matrices. Mais normalement, ça deviendra un reflexe. ça deviendra clair au fur et à mesure…
Et oui… tu en mangeras jusqu’aux concours… et au-délà ! Mais, comme je l’ai dit, se retrouve face à une matrice, c’est une bouffée d’oxygène dans ce monde de brutes.
Je comprends tout à fait qu’on soit rebuté par l’abstraction mathématique (tout le monde n’est pas un schtroumpf à lunettes), mais il me semble justement que Le_Fox était rebuté par la notion de matrice, pas d’endomorphisme 
(Une réaction qui me ravit au plus haut point )
Je comprends tout à fait qu’on soit rebuté par l’abstraction mathématique (tout le monde n’est pas un schtroumpf à lunettes), mais il me semble justement que Le_Fox était rebuté par la notion de matrice, pas d’endomorphisme
parce qu’il n’est qu’en sup’… Le traumatisme « endomorphismes » viendra après
Sinon, l’abstraction mathématiques, c’est bien… Faut juste ne pas en abuser! On ne construit pas des ponts avec des espaces de dimension infinie (encore que…)
A mon avis, pas plus de 5% des personnes ayant passé les concours appliqueront ces notions…
Pato a écrit:
Sinon, l’abstraction mathématiques, c’est bien… Faut juste ne pas en abuser! On ne construit pas des ponts avec des espaces de dimension infinie (encore que…)
A mon avis, pas plus de 5% des personnes ayant passé les concours appliqueront ces notions…
Cela dépend du travail que tu fais après ! Si tu es un simple executant, tu pourras de contenter des trucs programmés sur machine, et c’est vrai que cela concerne pas mal de monde.
Si maintenant tu dois être capable d’apporter des réponses techniques, souvent la compréhension des outils est nécessaire. Sais tu par exemple que pour fabriquer de nouveaux produits financiers qui fonctionnent et que l’on saura tarifer de manière optimale, tu as besoin d’outils extrémement poussées et se limiter à appliquer Black-Scholes ne permettra pas de te départager de tes concurrents (ce qui est le but d’un produit fi) ? Hors de question de faire du travail de pro la dedans sans manipuler proprement des variables aléatoires dynamiques ; bref la on est en pleine dimension infinie… Mais c’est sûr que pour construire un pont, tout est programmé sur machine ; mais je pense que faire une prépa puis une école et à l’arrivée appuyer sur des boutons, n’a t-on pas l’impression de régresser intellectuellement ? Un BTS ou un DUT ferait aussi bien, voire mieux …
J’espère de tout coeur que je n’en arriverai pas à ça ! 
(appuyer sur des boutons)
[troll]c’est pas ce que contente de faire les pilotes de ligne ça ? 
[/troll]
Enfin, je me rends bien compte que l’ordi sur lequel je floode présentement a été fait grâce à des notions (physique, mathématiques) que certains mépriseraient presque.. 
…et même si je suis dans une école d’ingé non particulière au point de vue maths (ENSAE ou X), je commence à voir pourquoi on utilise des probas pour modéliser les files d’attente dans les aéroports 
Tout à fait d’accord avec edp et Flyrik.
Pour le reste,
Pato a écrit:
A mon avis, pas plus de 5% des personnes ayant passé les concours appliqueront ces notions…
J’ai envie de répondre : « Et alors ? » Les CPGE (« Classes Préparatoires aux Grandes Ecoles ») ne sont pas, comme je le disais il y a quelque temps, des CPCGE (« Classes Préparatoires aux Concours des Grandes Ecoles ») seulement…
D’autre part, d’où sort ce « 5% » ? D’un avis d’un élève de première année d’école d’ingé qui écoute les conseils des grands, des profs et des travailleurs ? D’une étude statistique fiable ? D’un pifomètre ?