Bonjour 
Je suis en tout début de MPSI, et je rencontre une petite difficulté sur un DM :
Je me permets de vous recopier mon énoncé parce qu’il est cours, puis j’imagine que c’est un « classique » :
Trouver toutes les applications f : ]0 ; +inf [ → R dérivables, telles que
f(xy) = f(x) + f(y)
Alors moi quand j’ai vu ça, j’ai bien sûr pensé au Ln. Et j’ai pensé que ces fonctions devaient très probablement être celles de la forme x → k * Ln(x)
Alors j’ai un peu bidouillé la fonction, j’en ai tiré quelques propriété pas étonnantes ; du genre
f(1) = 0
f(x) = - f(1/x)
f’(xy) = f’(x)
Je me dis que le plus simple pour la démonstration serait de montrer que f ’ (x) = k / x (k réel non-nul) Comme ça on primitive, et on montre que la constante fait 0 et le tour est joué. (Enfin je crois… puisqu’on a montré que f’(x) = f’(xy) en considérant y comme une constante réelle quelconque…)
Sauf que j’ai un peu trafiqué la fonction dans tous les sens et j’ai pas trouvé de piste très concluante.
J’ai pensé à utiliser la relation
f(x) = - f(1/x)
en dérivant, ce qui faisait f ’ (x) = 1/x² * f ’ (1/x)
Après il s’agirait de montrer que f’(1/x)/x est une constante ? …
A moins que ça ne soit pas du tout ça l’idée…
En bref, si vous pouviez infirmer ou confirmer mes pistes (voire me signaler une erreur) ; ce serait avec plaisir
Merci.
EDIT : Ah oui, j’ai essayé aussi de passer par l’exponentielle puisque ln et exp sont intimement liées, mais… Ca n’a pas été très concluant.
Et c’est dommage puisque ce calcul, bien fait, te donnerait quasiment ce que tu veux 
Quand on étudiait des fonctions à deux variables (inconnues?), on considérait que l’une était une constante réelle quelconque, et que vu que ça marchait pour une constante réelle quelconque, on peut dire que ça marche pour toute…
Enfin c’était comme ça qu’on avait montré un truc du genre ln(a+t) < ln(…) [j’invente un peu de tête…]
Parce que sinon j’ai encore jamais étudié la moindre fonction où on considère deux variables 
EDIT : Ah oui ! f’(xy) = yf’(x) non ?
Oui. Il n’y a pas deux variables ici. Il n’y en a qu’une, que tu écris comme somme de deux réels. Pose bien les choses et ça ira.
Ton hypothèse c’est que pour tout x > 0, y > 0
f(xy) = f(x) + f(y)
Maintenant tu dérives cette relation en voyant f comme une fonction de la variable x et y comme étant fixé, et tu obtiens bien ce que tu as écrit. Et ce pour tout y > 0 ! Il faut juste bien garder tout au long du raisonnement ce que sont x et y.
Oui j’ai bien compris l’idée
J’ai pas encore trop l’habitude de ce genre d’exercice ; mais tu as raison, avec un peu de rigueur ça devrait passer.
Merci encore.
Analyse. Synthèse.
Ca doit être LE réflexe fasse à ce genre de problème.
Les deux étapes doivent apparaitre clairement sur la copie:
- On triture les hypothèses pour trouver la tête de toutes les solutions éventuelles.
- On regarde lesquelles sont vraiment solutions.
Parfois on peut tout faire avec des équivalences du début à la fin MAIS c’est très risqué…il suffit qu’une équivalence soit douteuse dans un sens et paf tout blabla ne vaut plus rien.
oui oui c’étai juste histoire d’enfoncer le clou en disant qu’il n’y avait pas 36façons de rédiger ce genre de blabla
Oui effectivement après avoir posé le calcul, c’est bien y * f’(xy) = f’(x)… Je sais pas ce que j’ai depuis une semaine je multiplie les erreurs grotesque de ce genre en calculant de tête (genre 1 - 1/x = (1 - x)/x ou je ne sais quoi… -_-")
Juste pour la rédaction de l’égalité, on peut présenter ça comme ça ? :
d/dx (f(xy)) = d/dx (f(x) + f(y))
<=> y * f ’ (xy) = f ’ (x)
Et quant à la démarche générale du problème (je dois avouer que je ne m’étais pas posé la question… Pour moi l’exo revenait à montrer que f(x) = k*ln(x)…) ; comment dois-je m’y prendre rigoureusement ?
Si j’ai bien compris les explications de Fabkill et Ragoudvo, il faut :
- que je montre que f(x) = k*ln(x)
- Que je vérifie que toutes les fonctions de la forme f : x → k*ln(x) vérifie la propriété f(xy) = f(x) + f(y)
Merci
C’est bien ça : tu montres que les solutions sont nécessairementd’une certaine forme, et **réciproquement **tu montres que les fonctions de cette forme sont solutions (sens facile).
C’est effectivement ça, i.e. un raisonnement par analyse synthèse qui peut être résumé comme suit : tu as un problème « Trouver tous les trucs qui vérifient une certaine propriété. ». Tu suppose donné un truc qui vérifie la propriété, tu le tritures, tu trouves des conditions nécessaires, jusqu’à arriver à une forme générique de solution ; tu regardes alors si tous les objets qui sont de cette forme sont solutions. Attention, le dernier point est fondamental, peut-être que tes conditions nécessaires n’étaient pas suffisantes !
[edit : grillé par son coloc… ]
Merci LB
Par contre, ma démarche - qui consiste à montrer f’(x) = k/x ==> f(x) = kln(x) +cte (et nécessairement cte = 0) - est-elle bonne ?
J’ai pensé à « multiplier » par x/x dans l’expression yf’(xy) = f’(x); là il s’agirait alors de montrer que xy*f’(xy) = constante.
En dérivant j’ai : yf’(xy) + xy² * f’‹ (xy) = f ›(x) + xf’‹ (x) (puisque on a d²/dx² [f(xy)] = y * d/dx f ›(xy) = y² * f’'(xy) si je dis pas de bétise…)
et là il ne me manquerait plus qu’à montrer que f’(x) = - x * f’'(x)… Mais là…
(j’ai essayé de dériver une troisième fois mais j’arrive à quelque chose de plus compliqué)
Y aurait-il une propriété de la fonction f qui m’aurait échapé ? . . .
PS : J’ai aussi envisagé f(x) = - f(1/x) ==> f’(x) = 1/x² * f’(1/x) ; dans ce cas il me faudrait montrer que f’(1/x)/x = cte ; là j’arrive si il n’y a pas d’erreur (toujours en dérivant)
Et là je suis bloqué au même niveau qu’à l’étape précédente…
Il y a quelque chose que je ne vois pas ? Ou ma méthode n’est pas conçue pour aboutir ? ^.^
Tu ne peux pas dériver deux fois, la fonction est seulement dérivable.
Tu sais que yf’(xy)=f’(x). Tu veux en déduire f’(t)=k/t. Il y a donc une variable en trop. Que faire ?
Ah oui tiens, ça j’y aurai jamais pensé (au fait que la fonction ne soit dérivable qu’une fois).
Alors sinon… J’envisagerai de poser t = …
mais si je pose t = xy ; ça me semble un peu bof, enfin j’arrive à y * f’(t) = f’(t/y)
Et je vois pas trop comment retomber sur mes pates, ou faire disparaître le x et le y en même temps =/ (enfin faudrait poser k = …)
et surtout je vois pas comment faire disparaître le f’(t/y) puisque je sais (enfin intuitivement) que f’(x) ne s’annule pas =/
Bref ça me semble pas être ça; je vais y réfléchir pendant mon retour de week end.
Merci encore,
Quand t’as y.f’(xy)=f’(x) c’est presque fini, t’as aussi la propriété f(1)=0
Hoetre a écrit:
mais si je pose t = xy ; ça me semble un peu bof, enfin j’arrive à y * f’(t) = f’(t/y)
Et je vois pas trop comment retomber sur mes pates, ou faire disparaître le x et le y en même temps =/ (enfin faudrait poser k = …)
Mon « t » servait juste à t’ouvrir la réflexion, puisque tu semblais vouloir faire apparaître x. Son remplacement est en fait simple.
Pour faire disparaître l’autre variable tu peux la remplacer par une constante.
yf’(xy)=f’(x)