Bonjour tout le monde!
Toujours perdu dans mes révisions, j’ai retrouvé un ancien DM où l’on me demandait de d’exprimer en fonction de n differentes sommes: \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}{k}}, \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}} et \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}{k^{3}}}
Bon, j’ai résolu cet exo relativement facilement comme je l’avais déjà fait par le passé. J’ai donc décidé de me lancer sur le calcul d’autres sommes… Et c’est là que mes difficultés ont commencé…
C’est pour çela que j’aimerais avoir votre aide pour calculer \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}
J’avoue n’avoir aucune piste de départ! XD
J’aimerais aussi savoir comment calculer \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k!}} et \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}{k!}}
Merci d’avance! 
Pour la somme de 1/k, je ne pense pas qu’il soit intéressant de la calculer, à la limite, prouve que la limite quand n tend vers +00 de (somme des 1/k) / ln(n) = 1.
La somme des 1/k! converge, il peut être intéressant de déterminer sa limite.
Je ne crois pas qu’il y ait un intérêt à calculer la somme des factorielles.
NB : Ces exos seront revus en sup (ce sont de grands classiques du début de l’analyse), ne te formalise pas si tu ne trouve pas.
Lutegarde a écrit:
à la limite, prouve que la limite quand n tend vers +00 de (somme des 1/k) - ln(n) = 0
Gloups … fr.wikipedia.org/wiki/Constante_ … Mascheroni
Je ne crois pas qu’il existe de formule générale donnant les sommes partielles de la série harmonique.
Pour la somme des inverses des factorielles, ca te viendra tout seul lorsque tu t’intéresseras au développement en série entière de l’exponentielle (sinon, tu peux prendre de l’avance : fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle#S.C3.A9rie) .
MFred a écrit:
[quote=« Lutegarde »]
à la limite, prouve que la limite quand n tend vers +00 de (somme des 1/k) - ln(n) = 0
Gloups … fr.wikipedia.org/wiki/Constante_ … Mascheroni
Je ne crois pas qu’il existe de formule générale donnant les sommes partielles de la série harmonique.
Pour la somme des inverses des factorielles, ca te viendra tout seul lorsque tu t’intéresseras au développement en série entière de l’exponentielle (sinon, tu peux prendre de l’avance : fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle#S.C3.A9rie) .
[/quote]
Ouch! C’est bizarre, je ne comprends pas grand chose de ce qui est écrit sur wikipédia (Je ne passe qu’en terminale hein XD). En clair, il va me falloir du temps pour réussir à calculer ces sommes…
Si quelqu’un était assez gentil pour juste me donner les réponses, histoire de savoir si j’ai réussi à les calculer, même si elles n’ont qu’un interêt limité 
…
MFred a écrit:
[quote=« Lutegarde »]
à la limite, prouve que la limite quand n tend vers +00 de (somme des 1/k) - ln(n) = 0
Gloups … fr.wikipedia.org/wiki/Constante_ … Mascheroni
Je ne crois pas qu’il existe de formule générale donnant les sommes partielles de la série harmonique.
[/quote]
Je mets çà sur le compte de la fatigue. En effet, je pensais à l’équivalent.
wé c’est vrai la somme fini des factoriel ou des inverse n’est pas calculable
la limite oui c’est facile suffit de penser à l’exp 
zakaria a écrit:
wé c’est vrai la somme fini des factoriel ou des inverse n’est pas calculable
la limite oui c’est facile suffit de penser à l’exp 
Il faut préciser un peu ce que veut dire « pas calculable ».
Les résultats des sommes que Malcmojo sait calculer s’expriment comme polynômes en n. Pour les autres, il n’y a pas de formule connue donnant le résultat sous forme de fonction élémentaire de n.
François Schnepf a écrit:
[quote=« zakaria »]
wé c’est vrai la somme fini des factoriel ou des inverse n’est pas calculable
la limite oui c’est facile suffit de penser à l’exp
Il faut préciser un peu ce que veut dire « pas calculable ».
Les résultats des sommes que Malcmojo sait calculer s’expriment comme polynômes en n. Pour les autres, il n’y a pas de formule connue donnant le résultat sous forme de fonction élémentaire de n.
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Ah d’accord merci pour vos réponses =)