Déterminer les fonctions g de R dans R continues et bornées qui vérifie
4g(x)=g(x-1)+g(x+1)+g(x-\pi)+g(x+\pi)
Par quoi commencer ?
Source un étudiant de prépas
Je te soumets 2 ou 3 idées en message privé. Je ne suis pas prof de math, et je n’ai donc pas le courage de poster publiquement au cas où je me trompe.
Tu as besoin de la solution à quelle heure ?? 
à U46406 tu peux poster tes idées. Tout le monde peut se tromper, moi le premier.
(En plus de ma suggestion faite en message privé. En espérant que des gens vont avoir le temps de lire et mieux pouvoir t’aider, comme la journée est terminée.)
Est-ce qu’il faut raisonner de manière théorique sur une famille de fonctions générée à partir de n fonctions dont il faut faire l’hypothèse qu’elles respectent la condition ?
(Comme tu dis, je peux me tromper - ça fait presque 35 ans que j’ai suivi mon dernier cours de math en prépa. )
Entre la poire et le fromage, je tenterais une transformée de Laplace :
4.G(p)=G(p).e^{-p}+G(p).e^{+p}+G(p).e^{-\pi.p}+G(p).e^{+\pi.p}
soit :
4.G(p)=G(p).\left( e^{-p}+ e^{+p}+e^{-\pi.p}+e^{+\pi.p}\right)
et p=j.\omega
4.G(j.\omega)=G(j.\omega).\left( e^{-j.\omega}+ e^{+j.\omega}+e^{-j.\omega\pi}+e^{+j.\omega\pi}\right)
4.G(j.\omega)=G(j.\omega).\left( 2.\cos\omega+2.\cos\omega\pi \right)
bon à toi de voir pour continuer / simplifier etc … et vérifier les précautions à prendre
puis transformée inverse ou pas
Edit:
si je continue vers le cul de sac évoqué dans mon post suivant :
G(j.\omega)=G(j.\omega).\cos\frac{\omega\left( 1+\pi \right)}{2}.\cos\frac{\omega\left( 1-\pi \right)}{2}
équation complexe où il faudrait que les 2 cosinus soient égaux à 1 ou -1 simultanément !
\left{ \begin{array}{cl}
\frac{\omega\left( 1+\pi \right)}{2}=0 & : \text{modulo 2 } \pi\
\frac{\omega\left( 1-\pi \right)}{2} =0 & : \text{modulo 2 } \pi
\end{array} \right. ou \left{ \begin{array}{cl}
\frac{\omega\left( 1+\pi \right)}{2}=\pi & : \text{modulo 2 } \pi\
\frac{\omega\left( 1-\pi \right)}{2} =\pi & : \text{modulo 2 } \pi
\end{array} \right.
soit \omega=0 ou \left( \omega=\frac{2.\pi}{1+\pi}\text{ et }\omega=\frac{2.\pi}{1-\pi} \right)Comme U46 ça fait loin 
Bonsoir,
Je pense que ma précédente idée était une impasse. 
toute fonction qui vérifie :
g(x)=g(x-1)=g(x+1)=g(x-\pi)=g(x+\pi)=\text{ Constante} est un premier cas particulier.
Y-a-t 'il d’autres fonctions que les fonctions constantes ?
Fonctions périodiques ?
Alors pourquoi pas s’inspirer de cet exo :
https://www.sarthaks.com/419149/if-the-periodic-function-satisfies-the-equation-f-x-1-f-x-1-3-f-x-x-r-then-find-the-period-of-f
salut
on remarque que toute fonction affine est solution … mais une fonction affine n’est pas bornée donc il reste les fonctions constantes
si on suppose g bornée alors puisqu’elle est continue elle atteint son maximum en un réel a
or 4 g(a) = g(a - 1) + g(a + 1) + g(a - \pi) + g(a + \pi) \iff [g(a) - g(a - 1)] + [g(a) - g(a + 1)] + [g(a) - g(a - \pi)] + [g(a) - g(a + \pi)] = 0
on a donc une somme nulle de quatre termes positifs (par définition du maximum) donc on en déduit que g(a) = g(a \pm 1) = g(a \pm \pi)
mezalor g(a) = g(a + m \cdot 1 + n \cdot \pi) avec (m, n) \in Z^2
or l’ensemble des réels {a + m \cdot 1 + n \cdot \pi / (m, n) \in Z^2 } est dense dans R
la continuité de g assure alors qu’elle est constante …
on peut faire le même raisonnement avec le minimum de g …
Salut,
@Zygomatique : pourquoi le max serait atteint ? En effet, elle pourrait être croissante continue et bornée, sur \mathbb R.
Sinon, je trouve ton idée excellente.
Cordialement.
Edit : si on a \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} g(x)=a et \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g(x)=b.
Alors \forall c\in\mathbb R^*, g(x+c)-g(x) est solution avec le min ou max atteint (au moins un des 2).
Donc par le raisonnement de Zygomatique : \exists d \in\mathbb R,\forall x\in\mathbb R, g(x+c)-g(x)=d
Comme g est bornée d=0 et \forall c \in\mathbb R^*, g(x+c)=g(x) donc g constante.
Bien vu 
, faut la supposer affine au départ 
Désolé de mettre encore un jeton dans la machine.
En étudiant la réponse de notre mathématicien indien AashiK qui relève d’astuces et de combinaisons linéaires de l’équation de départ f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{3}.f(x) permettant de mettre en évidence la période cherchée, il se trouve que la transformée de Laplace permet de trouver cette même période :
\sqrt{3}.F(p)=F(p).e^{-p}+F(p).e^{+p} soit
\frac{\sqrt{3}}{2}.F(p)=F(p).(\frac{e^{-p}+e^{+p}}{2}) et donc
\omega =\frac{\pi}{6}\ \text{modulo }2\pi
La période est de 12 comme celle d’AashiK
On peut donc maintenant trouver une période de 8 avec Laplace et une autre équation fonctionnelle similaire: f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{2}.f(x)
La méthode d’Aashik permet là encore de vérifier :
En remplaçant x par x-1 puis par x+1
f(x+2)+f(x)=\sqrt{2}.f(x+1)\qquad \text{Eq.}(2)
f(x)+f(x-2)=\sqrt{2}.f(x-1)\qquad \text{Eq.}(3)
(2)+(3) donne
f(x+2)+f(x-2)=0\qquad \text{Eq.}(4)
en replaçant x par x-2 on a
f(x)=-f(x-4)\qquad \text{Eq.}(5)
en replaçant finalement x par x-4 dans (5) on a
f(x-4)=-f(x-8)=-f(x)\qquad \text{Eq.}(5)
Mon impasse conduisait à :
\text{soit }\omega=0 \text{ ou } \left( \omega=\frac{2.\pi}{1+\pi}\text{ et }\omega=\frac{2.\pi}{1-\pi} \right)
Si \omega=0 correspond aux fonctions constantes trouvées par zygomatique et Contrexemple
Je serais pas loin de penser qu’il faudrait rajouter aux fonctions constantes les fonctions périodiques de période:
ppcm(1-\pi;\ 1+\pi)=\pi^{2}-1
Seulement je n’arrive pas à le vérifier avec la méthode d’Aashik
Qu’en pensez vous ?
@H2FooKo : Si g fonction continue et périodique est solution, alors elle atteindrait son max, et en re-utilisant le raisonnement de Zygomatique, g serait constante.
PS : il n’y a pas à s’excuser d’avoir un esprit combatif…
Edit : question posée à l’ENS-Ulm, exo 93 :
https://www.rms-math.com/images/stories/documents/exos-etoiles-2022-RMS.pdf
Merci Contrexemple,
En cherchant la définition de la période d’une fonction, pour savoir - entre autre - si elle est unique je suis tombé sur ce fil de discussion :
La définition donnée par BobbyJoe:
La période d’une fonction > f > est définie par > T=\inf {t>0; \forall x\in\mathbb{R} : f(x+t)=f(x)}, > si l’ensemble précédent est non vide (avec la convention que > T=+\infty > si l’ensemble est vide
D’ailleurs le Wikipédia anglais fait la différence entre « a period » et « the period », différentiant cette dernière par
fundamental > period (also > primitive > period, > basic > period, or > prime > period
Si l’on accepte l’unicité de la période d’une fonction au sens exprimé ci-dessus, ce que j’ai ecrit ci dessous est faux.
deleted_user2, post:10, topic:134249 a écrit:
\left( \omega=\frac{2.\pi}{1+\pi}\text{ et }\omega=\frac{2.\pi}{1-\pi} \right)
…/…
Je serais pas loin de penser qu’il faudrait rajouter aux fonctions constantes les fonctions périodiques de période:
ppcm(1-\pi;\ 1+\pi)=\pi^{2}-1
Il n’y a pas de fonction périodique satisfaisant d’être à la fois (1+\pi) et (1-\pi) périodiques
\boxed{\omega=0\text{ soit }T\to \infty } est la seule solution de mon impasse ?
Ici une solution : https://mathoverflow.net/questions/440179/how-may-i-find-all-continuous-and-bounded-functions-g-with-the-following-propert
Mais elle est largement hors programme.
Edit : La définition de la période par BobbyJoe ne marche pas pour toutes les fonctions réelles, en effet prendre f(x)=\mathbb{1}_{\mathbb Q}(x) l’indicatrice des rationnelles.
Sauf à accepter qu’une fonction de période nulle, n’est pas forcément constante.
Bonsoir Contrexemple,
Cela dépasse largement mes compétences, mais je constate que Iosif Pinelis (le posteur qui a reçu le plus de votes sur le forum que tu cites) a eu une intuition similaire à la mienne d’essayer la transformée de Fourier qui est la petite sœur de la transformée de Laplace (le second ayant été le professeur du premier).
Cette transformée permet dans certains cas de trouver des solutions (voir les exos d’AashiK) de certaines équations fonctionnelles et peut constituer une piste pour les taupins.
Bref, ce qui a mis l’automaticien que je suis sur la piste de Laplace c’est d’avoir reconnu l’expression temporelle de retards purs « plus facile à manier » (note les guillemets) dans le domaine de Laplace.
L’indicatrice des rationnelles est-elle continue ?
Rappelons les conditions de l’exo initial donné par Certus sur le type de solutions à chercher:
les fonctions g de R dans R continues et bornées