Bonjour tous.
J’espère que vous allez bien.
Je travaille actuellement sur un exercice concernant les sous-espaces stables par un endomorphisme.
J’ai rencontré une question qui je ne savais pas même comment commencer.
voila la question :
Soit λ ∈ R. On suppose que u - λId n’est pas injectif Montrer qu’il existe H hyperplan de E stable par u.
je suis en sup .
Bonjour,
Montre que pour f \in L(E) quelconque:
a) U sev stable par f, alors pour tout a \in \mathbb R, U stable par f+a.id.
b) pour tout sev A, f(E)+A stable par f.
Utilise ces 2 points pour conclure.
Bonne journée.
Les 2 points que tu as donnés je pense qu’ils sont évidents et je ne sais pas comment je peux les utiliser pour aboutir à le resultat
On peut s’intéresser à H=Im(u-\lamdba Id)+Ker(u-\lambda Id).
father, post:4, topic:136601 a écrit:
Il faut s’intéresser à H=Im(u-\lamdba Id).
Oui j’ai déjà essayé mais le problème c’'est que je ne suis pas sûr que dim( Im( u - λ Id) ) = n-1
En utilisant le b), on trouve un hyperplan qui stabilise u-\lambda id
Et en utilisant le point a) tu obtiens que ce même hyperplan stabilise aussi u
salut
si u - \lambda I n’est pas injectif alors il existe des vecteurs x et y distincts et non nuls tel que (u - \lambda I) x = (u - \lambda I) y
donc (u - \lambda I)(x - y) = 0 \iff u(x - y) = \lambda (x - y)
et \lambda est valeur propre de u