Bien le bonjour !
Soit x et y dans \mathbb{R} et f une fonction de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.
Après une disjonction, je trouve que :
soit, f(x)=y n’admet aucune solution ;
soit, f(x)=y admet une infinité de solutions.
Dans le premier cas, la correction précise que f n’est pas surjective : est-elle aussi injective (je crois que « oui » car l’équation admet bien au plus une solution) ?
Dans le deuxième cas, la correction précise que f n’est pas injective : est-elle aussi surjective (je crois que « oui » car l’équation admet bien au plus une solution) ?
Bien à vous !
Ta question n’est pas claire du tout. J’imagine que ce que tu essayes de nous décrire, c’est que tu as une fonction fixée f pour laquelle, pour tout réel y, l’équation f(x)=y ne peut admettre qu’une infinité de solutions si elle en a ? En admettant que ce soit bien ça, ta disjonction de cas n’a absolument aucun sens, les notions d’injectivité et de surjectivité sont des notions globales alors qu’être « dans le premier cas » ou « dans le deuxième cas » va dépendre du choix de y. Dès qu’il existe un y pour lequel on est dans le premier cas, f n’est pas surjective (c’est la définition) mais on ne peut pas savoir si elle injective si on ne sait pas ce qui se passe pour les autres y (en même temps, si on est toujours dans le premier cas, seule possibilité pour qu’elle soit injective, ça veut dire que f n’est définie nulle part).
Effectivement, mon message manque de précision (je ne voulais pas trop en dire pour continuer à réfléchir à mon problème). Malgré cela, vous avez su m’apporter ce qui me manquait (à savoir que dans mon cas, l’équation f(x)=y admet une infinité de solutions si, et seulement si, y=(t,t,t) avec t dans \mathbb{R} ce qui signifie que f n’est pas injective (et c’est seulement ce que l’on peut dire car on ne couvre pas \mathbb{R}^3 dans son ensemble)).
Je vous remercie.