Bonjour.
Soit un E.V. E de dimension fini et B une base de E.
Soit alors B’ une famille de vecteur de E.
Ma question maintenant :
Si Mᴮ(B’) est une matrice inversible alors B’ est une base de E?
(Mᴮ(B’) : la matrice de la famille de vecteur B’ relativement à la base B)
Ce que figure dans mon cours est que pour f de L(E,F), B1 base de E et B2 base de F:
Mᴮ¹ ᴮ²(f) est inversible ⇔ f est un isomorphisme
Je me demandais s’il y avait une alternative pour les familles de vecteurs. Vu que dans un corrigé on utilise ce résultat méconnu pour moi que je viens en poser la question,
Vous avez probablement un résultat dans votre cours qui dit quelque chose comme : une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si l’image d’une base de l’espace de départ est une base de l’espace d’arrivée… Le résultat que vous souhaitez avoir (et qui est vrai) s’en déduit.
En effet, je vois de quel théorème vous parlez mais je pense que ce qui s’en déduit de cela, de ce que j’ai dis, est uniquement ce résultat:
Mᴮ¹ ᴮ²(f) est inversible ⇔ f est un isomorphisme
(f application linéaire de E [de base B1] vers F [de base B2])
Et je n’ai pas de souci avec ce résultat, je l’utilise fréquemment même.
Néanmoins, je ne vois pas comment pourrai-je utiliser ce théorème pour prouver ceci:
Mᴮ(B’) inversible ⇒ B’ est une base de E
(avec les données suivantes: E e.v, B base de E et B’ famille de vecteur de E)
Qui est le but de ce post.
Je m’excuse si je n’ai pas été claire.
Bien à vous.
Un petit UP si quelqu’un aurait une solution. 
salut
peut-être se rappeler ce que signifie M_B(B’) : sauf erreur c’est la matrice constituée des vecteurs de B’ écrits en colonne dans la base B
donc il me semble que l’endomorphisme f que tu introduis n’est pas quelconque et est en rapport avec B et B’
Re-Bonjour! Je voulais dire que j’avais finis par trouver comment le prouver :
Par le rang de cette dernière matrice.
Puisqu’elle est inversible et puisque rg(Mᴮ(B’))=rg(B’)
Alors rg(B’)=Card(B)=dim E. D’où B’ est une base de E.
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