oui salut, si vous avez de beaux broblemes (niveau sup) a me proposer…je vous en serais reconnaissant..merci..
Tu es sur quelle partie du programme en ce moment ?
sur les derives, on vient de les finir et on a commencé les espaces vectoriels
As-tu déjà essayé de démontrer le théorème de Darboux ?
Si f est une fonction dérivable (et pas forcément C^1…) alors sa dérivée vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
Une des démonstrations utilise l’égalité des accroissements finis… et quelques fonctions auxiliaires bien choisies…
Au niveau des dérivées: si on remplace « dérivée » par « dérivée à droite » dans le théorème de Rolle et l’égalité des accroissements finis, ces théorèmes deviennent faux… Alors que l’inégalité des accroissements finis, elle, reste vraie.
Sinon, au niveau sup, j’ai plusieurs exercices et problèmes que j’aime particulièrement, comme le calcul de \zeta(2), le fait que les seuls x rationnels tels que \cos(\pi x) soit aussi rationnel sont 0, 1/3 et 1/2 (modulo toutes les symétries et périodicités de cosinus), j’ai des démos sympa de l’irrationalité de \pi, de e, de e^{r} avec r rationnel non nul, de \ln(r) avec r rationnel >0 différent de 1.
Après, il y a aussi le fait que R n’a qu’un automorphisme de corps alors que C (avec axiome du choix…) en a une infinité, dont la plupart sont discontinus partout. Ca, c’est d’un niveau plus élevé. De même que R possède des automorphismes de groupe non continus, et même bornés au voisinage d’aucun point.
merci JeanN et Mû 
…pour le theoreme de Darboux je l’ai rencontré mais je n’ai pas serieusement essayé de le demontrer,mais je vais m’y mettre…pour zeta de 2…j’ai deja lu la demo de Euler,dans un article portant sur les zeros triviaux de cette fonction(complexe)..pour ce qui est des autres j’ai trouvé de quoi m’amuser demain matin…mais j’avoue que je connais des indications pour montrer l’irrationnalité de \pi..je vais essayer quand meme de bien rediger la demo..eeuh est ce que c’est faisable sans notion de transcendance et d’algebrité, car je n’ai que de tres vagues notions sur ca, on ne les a pas encore vu en classe…
omamar3131 a écrit:
mais j’avoue que je connais des indications pour montrer l’irrationnalité de \pi..je vais essayer quand meme de bien rediger la demo..eeuh est ce que c’est faisable sans notion de transcendance et d’algebrité, car je n’ai que de tres vagues notions sur ca, on ne les a pas encore vu en classe…
Tout à fait faisable niveau sup avec les connaissances au programme de sup. C’est d’ailleurs tombé aux petites mines il y a deux ou trois ans (calcul de \zeta(2) et transcendance de \pi dans le même problème), avec plein de questions intermédiaires.
A part ça, je suis aussi fan des formules suivantes. Elles ne sont pas forcément difficiles à démontrer, et même parfois des conséquences immédiates de théorèmes de spé, mais sont tout à fait faisable en exercice en sup (mes élèves en ont déjà eu pas mal d’ailleurs depuis le début de l’année 
). Disons que ce que j’aime chez elles, c’est qu’elles sont à la fois jolies et démontrables à un niveau élémentaire.
Excusez moi pour les notations à grands coups de points de suspension…
\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\mathrm{d}x}{1+x^{2}}}=\pi
\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots=e
\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\cdots=\ln(2)
\frac{1}{1.2^{1}}+\frac{1}{2.2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n.2^{n}}+\cdots=\ln(2)
\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2n+1}+\cdots=\frac{\pi}{4}
\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+\cdots=\ln(2)
\frac{1}{1.3}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{9.11}+\cdots=\frac{\pi}{8}
\frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} \times \cdots=\frac{\pi}{2}
n! \sim n^{n}e^{-n}\sqrt{2 \pi n}
\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^{2}}\mathrm{d}x}=\sqrt{\pi}
\int_{-\infty}^{+\infty}{\cos(x^{2})\mathrm{d}x}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
aah la, j’avoue qu’il me faudra plus d’une matinée pour pouvoir traiter tout ca…pourla serie des 1/k! j’avais essayé de le demontrer en debut d’année mais j’y suis pas arrivé..quoi que maintenant je sais comment le faire 
…heeu le truc de $\pi/4$c’est pas un truc de Gauss ou Euler ou je ne sais pas qui…en tout cas, encore merci..je sens que je vous demandrais pas mal d’aide quand je serais bloqué au bout d’une ou deux questions..mais bon j’ai toute la semaine pour checher…hihi et j’en donnerais quelques unes en "colles-entre-eleves"c’est marrant ca!!.. 
tiens moi j’en ai une question: comment demontrer que \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11} +......=+\infty j’ai essayé de le montré mais j’ai pas vraiment trouvé de piste…une indication peut etre??
omamar3131 a écrit:
aah la, j’avoue qu’il me faudra plus d’une matinée pour pouvoir traiter tout ca…pourla serie des 1/k! j’avais essayé de le demontrer en debut d’année mais j’y suis pas arrivé..quoi que maintenant je sais comment le faire
Ce n’est pas forcément évident de tout trouver, donc je laisse quelques petites indications si ça t’intéresse: les deux premières formules pour \ln(2) et celle pour \frac{\pi}{4} se font bien avec l’inégalité de Taylor-Lagrange. La troisième pour \ln(2) et celle pour \frac{pi}{8} se déduisent des précédentes. L’équivalent de n! est la célèbre formule de Stirling, je mettrais ma main à couper que votre prof vous en parlera… Les deux dernières intégrales se font bien avec les fonctions de plusieurs variables, il faudra certainement attendre la fin de l’année pour que tu aies les outils pour traiter ça.
omamar3131 a écrit:
tiens moi j’en ai une question: comment demontrer que \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11} +......=+\infty j’ai essayé de le montré mais j’ai pas vraiment trouvé de piste…une indication peut etre??
Ca se fait bien en considérant la décomposition en facteurs premiers des entiers. L’idée, c’est que la somme des inverses des entiers naturels peut se voir comme le produit des 1/(1-1/p), avec p premier, en utilisant le fait que 1/(1-1/p)=1/p+1/p^2+1/p^3+…, et que la somme des inverses des entiers diverge, mais c’est un peu lourd à écrire proprement en justifiant tout (et en évitant donc d’écrire des sommes et des produits infinis pas forcément licites).
mmmmooouaii..ca commence a s’eclaircir un peu dans ma tete..sinon on peut le faire avec la densité (de shnirelmann) des nombres premiers??
omamar3131 a écrit:
mmmmooouaii..ca commence a s’eclaircir un peu dans ma tete..sinon on peut le faire avec la densité (de shnirelmann) des nombres premiers??
Je ne connais pas monsieur Shnirelmann…
Essaye plutôt la comparaison avec une intégrale…
$h4Dy a écrit:
Essaye plutôt la comparaison avec une intégrale…
Pour la somme des inverses des nombres premiers, je ne vois malheureusement pas trop quelle intégrale simple pourrait servir.
Mû a écrit:
[quote=« omamar3131 »]
mmmmooouaii..ca commence a s’eclaircir un peu dans ma tete..sinon on peut le faire avec la densité (de shnirelmann) des nombres premiers??
Je ne connais pas monsieur Shnirelmann…
[/quote]
lol c’est mon voisin de palier…non juste la densité , je ne voulais pas utiliser « densité des nombres premiers » meme si c’est le terme utilisé..car a ma conaissance du sens de densité..ils ne le sont pas…la densité de Schnirelmann (je ne suis pas sur de l’ecriture), c’est le cardinal d’une partie de N \cap[1,n] sur n..si je ne m’abuse…en fait j’ai vu cette notion dans un probleme de DS posé au Lycee Hoche…et j’ai aussi vu ailleur que la densité des nombres premiers est « presque » equivalente, sinon equivalente a 1/ln(n) en +\infty…lol en gros je racommode des trucs par la, des trucs par ci…eeuh non, jepense que j’ai trop parlé cette nuit, je vais plutot aller dormir et voir tout ca demain matin…encore merci…et esolé pour le derangement 
..j’espere que monsieur Schnirelmann ne m’en voudra pas d’avoir oublié son S en minuscule(ou eventuellemnt, avoir totallement deformé son nom)..
Etant donné que la densité des nombres premiers est 0, je ne vois pas trop comment ca pourrait nous aider ici…
elle tend vers 0, elle n’est pas egale a zero…mais comme elle decroit comme 1/ln(x) on peut s’en servir..
Non la densité est 0, ca ne voudrait rien dire qu’elle tend vers 0 puisqu’elle est fixe (la densité d’un ensemble c’est fixé non?)
La densité des nombres premiers dans un ensemble du type [0,N] n’est pas nulle…
Et on peut en regarder la limite quand N tend vers l’infini…