Bonjour,
Comment démontrer le lemme de Riemann-Lebesgue, dans le cas d’une fonction de \mathbb{R} dans \mathbb{R} simplement continue, et ce uniquement avec des outils de base (sommes de Riemann et autres encadrements de ce type, développements limités (?) /en série entière, à la limite densité des fonctions en escalier dans l’espace des fonctions continues; mais PAS de théorie de Fourier ou d’analyse complexe!).
Je donne l’énoncé dans ce cas particulier :
Soit a<b et f une fonction continue sur [a,b]. Montrer que \displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow +\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)cos(\lambda x) dx}}=0
(En particulier j’adorerais une démonstration à coups de epsilons 
)
dans le cas où f est dérivable et nécessairement bornée sur un intervalle contenant [a;b]
on peut peut être essayer une intégration par partie : u'=cos (\lambda x), v= f(x)
avec certaines valeurs de lambda et ainsi mettre$\frac 1 \lambda$ en facteur…
pour que sin (\lambda a)=sin (\lambda b)=0
ensuite se débrouiller pour lambda quelconque…
Théorème a écrit:
Soit f:[a,b]\to \mathbb R continue. Il existe une suite (e_n)_n de fonctions en escalier sur [a,b] qui converge uniformément vers f sur [a,b].
D’après ce théorème, pour \varepsilon>0, il existe une fonction en escalier \varphi telle que ||f-\varphi||_\infty \leq \frac{\varepsilon}{2(b-a)}.
En prenant une subdivision (a_n)_n de [a,b] adaptée à \varphi, on a
$\displaystyle \int_a^b \varphi(t)e^{ixt}dt=\sum_{1 \leq n \leq N} \lambda_n \int_{a_n}^{a_{n+1}} e^{ixt} dt$$=\displaystyle \sum_{1 \leq n \leq N}\lambda_n \frac{e^{ixa_n}-e^{ixa_{n+1}}}{ix}$.
En majorant, il vient \displaystyle\left| \int_a^b \varphi(t)e^{ixt}dt \right| \leq \frac{2N \max |\lambda_i|}{x}. Cette quantité est inférieure à \varepsilon/2 quand x \to +\infty.
D’où pour x assez grand, $\displaystyle \left| \int_a^b f(t)e^{ixt}dt \right| \leq \left| \int_a^b (f(t)-\varphi(t))e^{ixt}dt \right|$$\displaystyle+\left| \int_a^b \varphi(t)e^{ixt}dt \right| \leq (b-a)||f-\varphi||_\infty+\varepsilon/2 \leq \varepsilon$. CQFD
EDIT : désolé j’ai changé tes notations 
RE-EDIT : si f est \mathcal C^1, une IPP permet de torcher le truc.
Peut-être de cette manière :
f est continue donc bornée sur E= [ a , b]
m =< f(x) =< M
on cherche I(d) = S_E f(x)cos(dx)
on décompose E en deux ensembles E1 et E2 tels que :
(E1 et E2 sont définis par E1 = { x / cos(dx) >= 0 } et E2 = { x / cos(dx) =< 0}
E = E1 U E2
E1 et E2 sont eux mêmes des réunions finis d’intervalles .
on a alors m S_ E1 cos(dx) + M S_E2 cos (dx) =< I(d) =< M S_E1 cos(dx) + m S_E2 cos(dx)
chacune de ces intègrales tend vers 0 lorsque d tend vers l’infini ( prendre la primitive , il y a 1/d qui sort …)
donc I(d) tend vers 0
ne pas tenir compte de ce que j’ai écrit plus haut .
les intègrales de mon encadrement ne tendent pas vers 0 …
Je crains qu’il ne fasse plus fin comme encadrement de f , et donc approximer en effet la fonction f par des fonctions en escalier …
On peut y arriver en utilisant: des outils très simples début sup…
- une fonction continue est uniformément continue…
si \lambda est assez grand
il y a un nombre de périodes complètes
et un début de période et une fin de période… sue lesquelles f est majorée en valeur absolue..
sur les périodes complètes, on utilise la continuité uniforme (ce qui revient en gros à prendre une subdivision adaptée), pour dire que f(x)=a + h où h est inférieur à epsilon et a constant sur la période…
x.valentin a écrit:
Au passage, continue par morceaux sur [a,b] suffit.
Je dirais même plus que c’est valable pour une fonction L^1 (Riemann ou Lebesgue) sur un intervalle quelconque.
Il y a même une version encore plus abstraite, dixit Wikipédia:
Soit G un groupe topologique commutatif localement compact, soit \hat G son dual et soit f une fonction de L^1(G,\mathbb C) pour une mesure de Haar sur G. Alors la transformée de Fourier de f tend vers 0 à l’infini dans \hat G.
Enjoy
Tu peux commencer par démontrer le lemme pour une fonction en escalier , puis ensuite le généraliser pour une fonction continue en utilisant le théorème de DARBOUX .
; )
Bonjour,
Je up ce post, en fait je cherche a démontrer un résultat plus général, en remplaçant cos(nt) par une fonction périodique continue, la limite n’étant plus 0, mais (\frac{1}{T})(\int_0^T \phi)(\int_a^b f)
Avez vous des idées ? Car on ne peux plus majorer simplement pour faire tendre vers 0, il faut faire apparaître cette limite ce que je n’arrive pas
Mon idée était de prendre une subdivision de pas assez petit pour avoir an-an-1 <T mais ça ne semble pas marcher
Ramène toi au cas où phi est d’intégrale nulle sur [0,T] (en remplaçant phi par phi - cste)
Traite d’abord le cas où f est constante (changement de variable u=lambda * t) puis découpage de l’intégrale…