Bonjour, je n’arrive pas du tout à résoudre l’exercice suivant
A=2 -2 1
2 -3 2
-1 2 0
B=-3 0 0
0 1 0
0 0 1
Il faut montrer que les deux matrices sont semblables, donc qu’elles représentent un même endomorphisme relativement à des bases différentes mais ca y’en a etre du chinois pour moi…
Merci[/b]
Si la matrice A est semblable à la matrice B, qui est diagonale, il suffit de trouver une base de R^3 (enfin, en identifiant) formé par des vecteurs propres de A. Autrement dit, il suffit de rechercher les valeurs propres de A et les sous-espaces propres associés.
Je ne connais pas encore cette notion… Je ne peux pas faire autrement ?
bontze a écrit:
Je ne connais pas encore cette notion… Je ne peux pas faire autrement ?
si bien sûr, avec les matrices de passage, cela te dit quelque chose??
Bah euh
Oui ^^
En fait je ne sais pas quelles bases choisir, et comment trouver l’endomorphisme…
bontze a écrit:
Bah euh
Oui ^^
oki soit (e1, e2,e3) la base dans laquelle f(e1)=2e1+2e2-e3,f(e2)=-2e1-3e2+2e3,f(e3)=1e1+2e2
et tu veux montrer qu’il existe (e’1,e’2,e’3) tels que:
f(e’1)=3e’1, f(e’2)=e’2, et f(e’3)=e’3
e1,e2,e3 forme une base d’où e’1=A1e1+A2e2+A3e3
etc.
et là tu détermines A1,A2,A3, B1,B2,B3 C1 C2 et C3
est-ce clair?(j’espère ne pas avoir dit d’âneries^^)
Désolée, mais c"est quoi A1, A2 etc ?
En fait j’ai écrit,
f(e’2) = a1e1+a2e2+a3e3=f(e’2)= un truc moche, e1*(…) +e2*(…)+e3*(…)
Et après j’identifie ?
et je refais ça trois fois ?
(pas du tout découragée, non…
ouais, c’est assez calculatoire.
En l’occurence, il y a des vecteurs propres évidents :
(1, 1, 1), (-1, 0, 1) et (1, 2, -1)
Je pense que l’exercice te demande d’inventer la notion de vecteur propre (puisque tu dis ne pas la connaître). Mais elle arrive tout naturellement.
Voici le raisonnement.
On a une matrice M et une autre D qui est diagonale. On se demande si D et M représente le même endomorphisme. On voit clairement que D vaut l’identité sur un plan. Il est donc tout naturel de se demander si M aussi. On s’aperçoit facilement que c’est le cas en tatonant.
Ensuite, on voit que D e_1 = -3e_1. Existe-t-il un tel vecteur pour M ? On voit aussi que oui.
Quand on a fait tout ça, on s’aperçoit que l’on a construit un vecteur et un plan. N’engredaient-ils pas l’espace ? Si bien sûr ! On prend deux vecteur générateurs du plan et on obtient une base de l’espace. Est-ce le bon changement de base ? On essaie et on montre facilement que oui !
Finalement, ce n’est pas si calculatoire, même si on n’a pas les notions.
sinon 2 matrices semblables ont le meme determinant 
La question serait alors est-ce que deux matrices qui ont meme determinant sont semblables et là il me semble que non. La matrice nulle et la matrice
A =0 0 0
1 0 0
0 0 0 ont même déterminant et ne sont pourtant pas semblable.
Nailuree a écrit:
La question serait alors est-ce que deux matrices qui ont meme determinant sont semblables et là il me semble que non. La matrice nulle et la matrice
A =0 0 0
1 0 0
0 0 0 ont même déterminant et ne sont pourtant pas semblable.
et pour ce qui est des matrices inversibles?
(pour n’importe quelle matrice de rang =< n-1, on voit que c’est faux…)
emmo a écrit:
[quote=« Nailuree »]
La question serait alors est-ce que deux matrices qui ont meme determinant sont semblables et là il me semble que non. La matrice nulle et la matrice
A =0 0 0
1 0 0
0 0 0 ont même déterminant et ne sont pourtant pas semblable.
et pour ce qui est des matrices inversibles?
(pour n’importe quelle matrice de rang =< n-1, on voit que c’est faux…)
[/quote]
1 0 et 1/2 0
0 1 … 0 2
Ces deux matrices ne sont pas semblables car l’identité n’est semblable qu à elle même, mais elles sont inversibles de même determinant.
L’implication est fausse pour tout n.
oui c est vrai…
Tialys a écrit:
[quote=« emmo »]
[quote=« Nailuree »]
La question serait alors est-ce que deux matrices qui ont meme determinant sont semblables et là il me semble que non. La matrice nulle et la matrice
A =0 0 0
1 0 0
0 0 0 ont même déterminant et ne sont pourtant pas semblable.
et pour ce qui est des matrices inversibles?
(pour n’importe quelle matrice de rang =< n-1, on voit que c’est faux…)
[/quote]
1 0 et 1/2 0
0 1 … 0 2
Ces deux matrices ne sont pas semblables car l’identité n’est semblable qu à elle même, mais elles sont inversibles de même determinant.
L’implication est fausse pour tout n.
[/quote]
merci beaucoup, j’avais la flemme de chercher un contre-exemple^^
désolé de t’avoir dérangé pour si peu^^
les classes de similitude dans M_n(K) (K un corps) sont connues de manière théorique, mais cela requiert d’aller un peu plus loin que la spé. En fait, le polynôme minimal est un bon invariant, mais souvent, il a besoin d’autres copains caractériser une classe de similitude…
Par contre, pour M_n(A) (A un anneau) c’est beaucoup plus difficile (car A est principal ssi A est un corps), et je ne sais pas s’il existe un résultat général aussi « simple » que pour M_n(K).