Bonjour à tous,
J’aimerais savoir comment on fait pour montrer qu’une fonction est Cinfini sur un intervalle
merci d’avance
On dérive une fois, et tant que ça marche on continue.
Plus sérieusement, tu as en gros deux possibilités :
-Dire qu’elle est la composée, produit, somme etc.. de fonctions C infini.
-Faire une récurrence.
Plus précisément, c’est quoi ta fonction?
je dois montrer que arcsin(x) est Cinfini sur ]-1;1[
donc (arcsin)'(x)=1/rac(1-x²)
ai-je le droit de dire que :
1-x² est Cinf en tant que polynome
rac(x) est Cinf en tant que fonction de reference
par composition rac(1-x²) est C inf
donc 1/rac(1-x²) est C inf
??
Oui mais attention x \mapsto \sqrt{x} est C^{\infty} mais sur \mathbb{R}_{+}^{*}, de même que x \mapsto \frac{1}{x}, et il faut vérifier que nos compositions se passent bien.
Salut,
Pour prouver que arctan est de classe C^{\infty} sur ]-1,1[, le plus sur est de le faire par récurrence.
Or tu ne connais à priori pas la formule de sa dérivée n-ième.
Ce que tu peux faire, c’est dériver une, deux, trois fois, et conjecturer sa forme, la démontrer par récurrence, mais attention, à chaque fois il faudra prouver qu’elle est continue sur ]-1,1[.
Allons-y:
n=1 : arctan'(x)=\frac {1}{1+x^2} C’est continu sur ]-1,1[ donc elle est C^1 sur ]-1,1[
n=2 : arctan^{(2)}(x)= - \frac {2x}{(1+x^2)^2} C’est continu sur ]-1,1[ donc elle est C^2 sur ]-1,1[
Tu peux alors conjecturer que arctan^{(n)} est de la forme arctan^{(n)}(x)=\frac {P_n(x)}{(1+x^2)^k} au rang n, k entier non nul.
C’est bien défini sur ]-1,1[ quel que soit k.
Au rang n+1, tu auras donc arctan^{(n+1)}(x)=\frac {Pn(x)(1+x^2)^{k}-2xk(1+x^2)^{k-1}}{{(1+x^2)}^{2k}}
C’est donc toujours du style \frac {P_{n+1}(x)}{(1+x^2)^{k'}}
avec k’ entier. Et c’est bien défini sur ]-1,1[.
Conclusion:
Ta fonction est donc bien C^{\infty} sur ]-1,1[
Weensie a écrit:
Salut, Pour prouver que arctan est de classe C^{\infty} sur ]-1,1[, le plus sur est de le faire par récurrence.
Le plus compliqué (et inutile).
A chaque étape de ta récurrence tu dérives (donc tu dois, ce que tu n’as pas fait, expliquer qu’elle est dérivable).
Pour justifier qu’elle l’est, tu utilise les produits et compositions de polynômes et de fraction.
Autrement dit, ce qu’on fait une fois pour justifier que sa dérivée est C infini, tu le fais une infinité de fois.
Deviling a écrit:
[quote=« Weensie »]
Salut, Pour prouver que arctan est de classe C^{\infty} sur ]-1,1[, le plus sur est de le faire par récurrence.
Le plus compliqué (et inutile).
A chaque étape de ta récurrence tu dérives (donc tu dois, ce que tu n’as pas fait, expliquer qu’elle est dérivable).
Pour justifier qu’elle l’est, tu utilise les produits et compositions de polynômes et de fraction.
Autrement dit, ce qu’on fait une fois pour justifier que sa dérivée est C infini, tu le fais une infinité de fois.
[/quote]
Je l’ai expliqué. Enfin il parait clair que le quotient d’un polynôme par un autre toujours défini sur ]-1,1[ est défini.
Comme j’ai montré que la dérivée n-ième de arctan était toujours de cette forme ca suffit.
La méthode est loin d’être inutile. C’est d’ailleurs la seule rigoureuse possible.
Weensie a écrit:
Enfin il parait clair que le quotient d’un polynôme par un autre toujours défini sur ]-1,1[ est défini.
Comme j’ai montré que la dérivée n-ième de arctan était toujours de cette forme ca suffit.
Etre défini n’implique pas dérivable, encore moins continu…
Weensie a écrit:
La méthode est loin d’être inutile. C’est d’ailleurs la seule rigoureuse possible.
Non, le mieux est de dériver juste une fois Arctan, et de justifier par composition/produit le caractère C infini.
Edit x 3 : Raté mes « Quote ».
Oui tu as peut-être raison, ca peut suffire.
Mais la méthode n’est pas inutile. D’ailleurs elle est souvent présentée dans des sujets de concours (cf. ENS 2006 maths 2) question 1 ou 2, bon tu me diras c’était pas tout à fait le même cas de figure.
Cela dit, je la trouve instructive.
Weensie a écrit:
Oui tu as peut-être raison, ca peut suffire.
Mais la méthode n’est pas inutile. D’ailleurs elle est souvent présentée dans des sujets de concours (cf. ENS 2006 maths 2) question 1 ou 2, bon tu me diras c’était pas tout à fait le même cas de figure.
Cela dit, je la trouve instructive.
Alors là c’est différent. Effectivement dans d’autres cas de figures, elle est intéressante (et plus utile).
Mais il était contre-productif ici de lui dire qu’il fallait faire comme ça, ici.
Deviling a écrit:
[quote=« Weensie »]
Oui tu as peut-être raison, ca peut suffire.
Mais la méthode n’est pas inutile. D’ailleurs elle est souvent présentée dans des sujets de concours (cf. ENS 2006 maths 2) question 1 ou 2, bon tu me diras c’était pas tout à fait le même cas de figure.
Cela dit, je la trouve instructive.
Alors là c’est différent. Effectivement dans d’autres cas de figures, elle est intéressante (et plus utile).
Mais il était contre-productif ici de lui dire qu’il fallait faire comme ça, ici.
[/quote]
c’est probable.
Deviling a écrit:
[quote=« Weensie »]
Enfin il parait clair que le quotient d’un polynôme par un autre toujours défini sur ]-1,1[ est défini.
Comme j’ai montré que la dérivée n-ième de arctan était toujours de cette forme ca suffit.
Etre défini n’implique pas dérivable, encore moins continu…
[/quote]
C’est pas ce que j’ai dit.
j’ai dit que arctan’(x) était définie sur ]-1,1[
puis que pour arctan^(n)(x), elle était dérivable et que la dérivée était continue.
Effectivement pour prouver qu’elle était dérivable fallait utiliser les compositions (ce que j’ai fait de manière implicite donc non-rigoureuse).