Mines 2009

Questions/Réponses par disciplines Mathématiques
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Gladstone a écrit:

Mouarf, le sujet avait l’air faisable, mais fallait etre tres rapide pour en faire plus de la moitié…

Avis aux MP, vous êtes allez jusqu’où ? (et vous avez sauté beaucoup de questions ?)

Perso, j’ai sauté la question 8, et je suis allé jusqu’à la question 10 à moitié incluse… :frowning:
Personnellement, j’ai sauté la question 4, qui était toute conne, il suffisait de développer le bordel et de majorer un sinus en bout de ligne.
J’ai aussi sauté la 8, trop longue, pourtant pas très dure. J’ai fini à la 13, où je n’ai pas eu le temps de faire Cauchy-Schwarz.
Le sujet était plutôt sympathique, mais probablement un peu long pour 3h. Quoique, c’est surtout moi qui dois apprendre à être plus rapide, dans la question 1 par exemple, pour montrer l’existence de \phi_f, j’ai développé une exponentielle complexe en série entière (on a le droit), plutôt que de dire que son module valait 1, ce qui m’aurait fait gagner 20 minutes.

Pour répondre à la question 2 : une simple formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral plus une majoration suffisait, quant à la 5, je me demande si c’était une blague, ou bien si c’est moi qui suis nul : montrer que \forall k \in \mathbb{N}, e^{k} \geq \frac{k^{k}}{k!}, pour moi il suffisait de considérer la série entière de l’exponentielle qui majore évidemment \frac{k^{k}}{k!}, et rappeler la convention 0^{0} = 1, 0! = 1.

Bref, plutôt pas mécontent de moi, même si j’aurais pu faire deux ou trois questions de plus si j’avais pas autant traîné sur la question 1, et celle où on montre que f_0 \in E, ainsi qu’à d’autres endroits.
La question 10 ou 11 je ne sais plus était assez sadique selon moi, car il fallait montrer que f_0 \in E, et comme ils l’avaient probablement prévu, beaucoup oubliaient de justifier que l’intégrale sur \mathbb{R} de f_0 valait 1, ce qui n’était pas du tout évident.

Quant à la physique, ça m’a fait mal, autant la méca j’ai bien aime (les 11 premières questions), j’ai même réussi à me rappeler de la troisième loi de Képler, autant à partir de la 12, j’étais bloqué…

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LB a écrit:

Jusqu’à la dernière partie ça m’a l’air très faisable…
Après, c’est peut-être le recul; je sais pas.
Je trouve ça plus simple que le (les) sujets de l’an dernier en tout cas.
En même temps l’an dernier, c’était vraiment super balèze, j’ai fait celui sur l’inégalité d’Alexandrov en DM, je peux te dire que quand je l’ai rendu au prof, j’étais fier de moi, c’était un sujet magnifique, mais aussi très pointu…
Par contre, je n’ai pas attaqué le sujet II, je le ferai après centrale, ou bien après normale.

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Thaalos a écrit:

Pour répondre à la question 2 : une simple formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral plus une majoration suffisait, quant à la 5, je me demande si c’était une blague, ou bien si c’est moi qui suis nul : montrer que \forall k \in \mathbb{N}, e^{k} \geq \frac{k^{k}}{k!}, pour moi il suffisait de considérer la série entière de l’exponentielle qui majore évidemment \frac{k^{k}}{k!}, et rappeler la convention 0^{0} = 1, 0! = 1
Ca peut paraître incroyablement con, mais comment tu fais? Tout ce que je trouve c’est que la suite \displaystyle \left(\frac{k^p}{p!}\right)_{p\geq 0} est croissante sur [0,k-1] et décroissante [k,+\infty[. Jvois pas comment minorer…

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YLS a écrit:

[quote=« Thaalos »]
Pour répondre à la question 2 : une simple formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral plus une majoration suffisait, quant à la 5, je me demande si c’était une blague, ou bien si c’est moi qui suis nul : montrer que \forall k \in \mathbb{N}, e^{k} \geq \frac{k^{k}}{k!}, pour moi il suffisait de considérer la série entière de l’exponentielle qui majore évidemment \frac{k^{k}}{k!}, et rappeler la convention 0^{0} = 1, 0! = 1
Ca peut paraître incroyablement con, mais comment tu fais? Tout ce que je trouve c’est que la suite \displaystyle \left(\frac{k^p}{p!}\right)_{p\geq 0} est croissante sur [0,k-1] et décroissante [k,+\infty[. Jvois pas comment minorer…
[/quote]
La série exponentielle est une série de termes positifs, tu peux extraire le terme d’ordre k de celle-ci, tu as alors e^{k} =\frac{k^{k}}{k!} + \sum\limits_{m=0, m \not= k}^{+\infty}\frac{k^{m}}{m!}, la série sans le terme d’ordre k, qui est une série de termes positifs, donc positive.

Pour le reste, je me trompe peut-être, quoique j’en doute, mais en tout cas il n’y a jamais de question conne, il n’y a que des réponses mal venues. ^^

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Les mines c’est devenu les CCP -_-

Pour Maths 1 chui arrivé à la 12 en perdant bcp de temps sur des details futiles :frowning:. N’emêche j’ai fait la 8 avec une bonne rédac, mais j’ai sauté la 9 (oui c’est con xD). Pour Maths 2, j’ai 4 personnes dans ma classe quio ont fini le sujet.. Moi j’étais pas dans mon jour -_-" (arrivé à la 17 en ayant sauté 3-4 questions)

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je pense qu’on utilise la formule de Taylor avec reste intégrale à la fonction exp(ix) ,avec a=0 et b=x.on démontre aisément que pour des fonctions complexes ,elle reste applicable car
soit f(x)=Re(f(x))+iIm(f(x)).on applique cette formule à Re(f) et Im(f) et donc par linéarité de la dérivation à f.

pour l’autre par récurrence ou bien on passe au logarithme
il s’agit donc de démontrer que
K >=Kln(K)-somme(ln(n)) pour n allant de 1 à K.
on remarque que Kln(K)-K=intégrale de ln(t) entre 1 et K.
on décompose en somme d’intégrales entre n-1 et n pour n allant de 2 à K.puis par croissance de ln(t) entre n et n-1,on majore ln(t)par ln(n).
et en sommant on retrouve bien l’inégalité.

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fais gaffe certes ce sont des questions débiles .mais on va départager les élèves sur des questions comme la 8 et la 5 ,la 12,la 19 (car exemple calculatoire ) et dans une moindre mesure la 9.
et aussi sur la rédaction et les justifications (genre théorème de convergence dominé à la 8 et …)

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Thaalos a écrit:

[quote=« YLS »]

[quote=« Thaalos »]
Pour répondre à la question 2 : une simple formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral plus une majoration suffisait, quant à la 5, je me demande si c’était une blague, ou bien si c’est moi qui suis nul : montrer que \forall k \in \mathbb{N}, e^{k} \geq \frac{k^{k}}{k!}, pour moi il suffisait de considérer la série entière de l’exponentielle qui majore évidemment \frac{k^{k}}{k!}, et rappeler la convention 0^{0} = 1, 0! = 1
Ca peut paraître incroyablement con, mais comment tu fais? Tout ce que je trouve c’est que la suite \displaystyle \left(\frac{k^p}{p!}\right)_{p\geq 0} est croissante sur [0,k-1] et décroissante [k,+\infty[. Jvois pas comment minorer…
[/quote]
La série exponentielle est une série de termes positifs, tu peux extraire le terme d’ordre k de celle-ci, tu as alors e^{k} =\frac{k^{k}}{k!} + \sum\limits_{m=0, m \not= k}^{+\infty}\frac{k^{m}}{m!}, la série sans le terme d’ordre k, qui est une série de termes positifs, donc positive.

Pour le reste, je me trompe peut-être, quoique j’en doute, mais en tout cas il n’y a jamais de question conne, il n’y a que des réponses mal venues. ^^
[/quote]
Lol je te remercie. C’était vraiment simple en effet… Je cherchais à isoler non pas un terme mais au moins k et à les minorer, d’où l’étude de la suite formée par le terme général, mais ça menait juste à cette majoration : \displaystyle e^k\leq k\frac{k^{k-1}}{(k-1)!} + \sum_{p=k}^{+\infty}{\frac{k^p}{p!}} (on peut pas dire que ce soit très fin lol).

Pour le sujet des MP, j’ai une petite question : si on enlève le i dans la définition de la fonction caractéristique \Phi_f de f , on a - il me semble - une transformée de Laplace définie sur \mathbb{R} (sous réserve de convergence de l’intégrale) et à valeurs dans \mathbb{R}. Cette fonction caractérise-t-elle encore f ? Et si oui, à quoi sert l’ajout du i dans la définition de \Phi_f ?

[Edit] Pour la 9), on montre que \displaystyle \int_{a}^{b}{f(t)dt} = \int_{a}^{b}{g(t)dt}, puis on choisit a=-1 et b\geq 0, on dérive les fonctions (égales) \displaystyle b\mapsto \int_{-1}^{b}{f(t)dt} et \displaystyle b\mapsto \int_{-1}^{b}{g(t)dt} et on obtient f=g sur \mathbb{R}^{+}, puis on change les rôles des bornes et on recommence sur \mathbb{R}^{-} ?

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C’est la transformée de Fourier de X, et au i près, celle de Laplace oui.
La grande différence c’est que |e^{itX}|=1

Si on appelle M la transformée de Laplace, on a M(t)=\phi(-it), donc ça caractérise bien la loi d’une var, si ça existe partout. (Au sens où si deux var ont des transformée de Laplace égales sur R, elles ont même loi, puisqu’on se ramène justement à l’égalité des fc).
Et on a même encore le développement en série entière avec les moments de M, sans les méchants i…

Fourier et le i, c’est juste que ça existe tout le temps alors que le problème avec M, c’est que l’ensemble des t où M est finie peut être réduit à {0}.

Du genre, pour une loi exponentielle de paramètre \lambda, la transformée de Laplace vaut \left(1 - \dfrac{t}{\lambda}\right)^{-1} pour t<\lambda et pas définie ailleurs. Alors que la fonction caractéristique, c’est \left(1 - \dfrac{it}{\lambda}\right)^{-1} partout; le i empêchant l’égalité qu’on ne veut pas :slight_smile:

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La 5 est un beau gag qui va finir dans le rapport 2009…

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Je pense que dans le rapport ils vont surtout se foutre de la gueule des gens qu’ont sorti des trucs inutiles genre stirling, comparaison série intégrale, etc.. pour démontrer ça.

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Rebonjour,
deuxième jour des mines, et c’est toujours la détresse… Je suis trop lent, et je me demandais si par miracle, quelqu’un avait une super astuce pour allez super vite et tout faire super bien :laughing:
En fait, pendant l’année, j’avais l’air d’être relativement rapide, mais là c’est la cata… (j’ai pas dépassé la 11 sur le sujet de maths 2… et en info en ayant sauté les automates de la 7 à la 16, je suis allé seulement jusqu’à la 25, sans avoir eu l’impression de secher sur une question…)
Donc, si par hasard, des anciens avaient déjà vécu et résolu ce problème, je suis tout ouïe :smiley:

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LB a écrit:

C’est la transformée de Fourier de X, et au i près, celle de Laplace oui.
La grande différence c’est que |e^{itX}|=1

Si on appelle M la transformée de Laplace, on a M(t)=\phi(-it), donc ça caractérise bien la loi d’une var, si ça existe partout. (Au sens où si deux var ont des transformée de Laplace égales sur R, elles ont même loi, puisqu’on se ramène justement à l’égalité des fc).
Et on a même encore le développement en série entière avec les moments de M, sans les méchants i…

Fourier et le i, c’est juste que ça existe tout le temps alors que le problème avec M, c’est que l’ensemble des t où M est finie peut être réduit à {0}.

Du genre, pour une loi exponentielle de paramètre \lambda, la transformée de Laplace vaut \left(1 - \dfrac{t}{\lambda}\right)^{-1} pour t<\lambda et pas définie ailleurs. Alors que la fonction caractéristique, c’est \left(1 - \dfrac{it}{\lambda}\right)^{-1} partout; le i empêchant l’égalité qu’on ne veut pas :slight_smile:
Ohh merci c’est exactement la réponse que je voulais :smiley:
J’ai bien compris la différence entre les deux transformées (à la gène près que je ne connaisse rien sur la dérivation et l’intégration dans \mathbb{C}, mais ça n’empêche pas de comprendre le sens général que tu exprimes très bien). Maintenant, question additionnelle : tu dis qu’il faut que les deux variables aient une transformée de Laplace égale sur \mathbb{R} pour qu’elles suivent la même loi, mais le sujet HEC 2008 (maths II) fait admettre dans son préambule que l’égalité sur tout intervalle ouvert non vide suffit (propriété qui s’avère extrèmement pratique plus loin dans le sujet d’ailleurs…). D’où vient cette propriété de caractérisation plus souple, alors?

PS : ma question pour la résolution de la 9) du sujet des Mines tient toujours :stuck_out_tongue:

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j’ai pas compris ce que t’as fait pour la 9 mais moi, j’ai dit qu’on peut se restreindre à [a,b] tq f >= g ou l’inverse puis par th, continuité, integrale nulle, et f-g>=0, f=g et on fait pareil sur R..

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C’est dommage Gladstone ! la partie D était très très abordable, avec au moins 2-3 questions que tu as du traiter 2 ou 3 fois chacune dans ton année…

j’ai pas dépasser la 16, avec 3-4 questions pas traitée…

balèze quand même pour finir le sujet, j’ai pas regardé les deux dernière parties, mais elles m’avaient pas l’air si courtes que ça.

quelqu’un a une proposition pour la question 15? je l’ai traitée, mais jsuis pas sur sur…

edit : pour la 9, j’ai supposé f-g non nulle, jai pris un intervale [t0-eps,t0+eps] , avec f(t0) non nul. puis intégrale non nulle sur cet intervalle…

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Bonsoir,
j’insiste peut-être lourdement, mais si quelqu’un avait pitié du plouc éloigné de tout centre d’écrit que je suis et daignait mettre en ligne le sujet des mines MP-2 de ce matin, je serais aux anges ! Merci à toute bonne volonté…

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Et ça ressasse et ça ressasse…

Vous avez trimé toute la journée, et non vous en avez jamais assez, il faut remettre le couvert sur ces épreuves. :grin:

C’est pas un reproche fait aux gens qui donnent des réponses, et corrigent quasiment le sujet en direct, ni même envers les candidats; juste une constatation.

Les taupins sont vraiment masochistes quand même :smiling_imp:

Pour ma part, je parlais très peu des épreuves et une fois rentré chez moi, pendant les périodes de concours, je faisais et essayais de penser à quelque chose de complètement différent.

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YLS a écrit:

Maintenant, question additionnelle : tu dis qu’il faut que les deux variables aient une transformée de Laplace égale sur \mathbb{R} pour qu’elles suivent la même loi, mais le sujet HEC 2008 (maths II) fait admettre dans son préambule que l’égalité sur tout intervalle ouvert non vide suffit (propriété qui s’avère extrèmement pratique plus loin dans le sujet d’ailleurs…). D’où vient cette propriété de caractérisation plus souple, alors?
Je ne peux pas donner d’explication, mais je pense fortement que c’est lié au fait que l’on exige que les fonctions soient à densité. En effet, dans le livre Probabilités 2 de JY Ouvrard (Cassini), exercice 12.1, on donne un exemple de variables aléatoires f et g telles que f est à densité et g est discrète alors que leurs fonctions caractéristiques coïncident sur [-1, 1] (exemple dû à un certain Stoyanov).

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Tialys a écrit:

Les mines c’est devenu les CCP --
Dans le genre commentaire faux et sans intérêt…
Tialys a écrit:
Pour Maths 1 chui arrivé à la 12 en perdant bcp de temps sur des details futiles :frowning:. N’emêche j’ai fait la 8 avec une bonne rédac, mais j’ai sauté la 9 (oui c’est con xD). Pour Maths 2, j’ai 4 personnes dans ma classe quio ont fini le sujet.. Moi j’étais pas dans mon jour --" (arrivé à la 17 en ayant sauté 3-4 questions)
Ceux qui ont fini le sujet auront peut-être de bonnes surprises. (et puis faut vérifier ce qu’ils entendent par fini)
Il était loin d’être simple, je suis personnellement arrivé à la 19 en foirant deux questions et en en zappant 3 : la 3, la 10, la 18.
La 6 j’ai utilisé la projection orthogonale sans avoir défini de produit scalaire alors qu’il suffisait de remarquer que 0 est dans B et dans V, et de constater que donc \inf\limits_{y \in V}||y-x|| \leq ||x||, quant à la 7, j’ai réutilisé à tort le projecteur orthogonal.
Je me demande pour la 8 s’il fallait montrer que ||x-p_{V}(x)|| = d(x,V), je l’ai pas fait, et je pense que j’ai eu tort.
YLS a écrit:
[Edit] Pour la 9), on montre que \displaystyle \int_{a}^{b}{f(t)dt} = \int_{a}^{b}{g(t)dt}, puis on choisit a=-1 et b\geq 0, on dérive les fonctions (égales) \displaystyle b\mapsto \int_{-1}^{b}{f(t)dt} et \displaystyle b\mapsto \int_{-1}^{b}{g(t)dt} et on obtient f=g sur \mathbb{R}^{+}, puis on change les rôles des bornes et on recommence sur \mathbb{R}^{-} ?
Utilise directement le résultat du 8 en faisait la différence de la limite de l’intégrale bordélique contenant \phi_f par la limite de l’intégrale bordélique contenant \phi_g. (qui sont égales)
Tu trouves donc en utilisant le résultat de la 8 que \int\limits_{a}^{b}f - \int\limits_{a}^{b}g = 0.
Or f et g sont positives…

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Gladstone a écrit:

Rebonjour,
deuxième jour des mines, et c’est toujours la détresse… Je suis trop lent, et je me demandais si par miracle, quelqu’un avait une super astuce pour allez super vite et tout faire super bien :laughing:
En fait, pendant l’année, j’avais l’air d’être relativement rapide, mais là c’est la cata… (j’ai pas dépassé la 11 sur le sujet de maths 2… et en info en ayant sauté les automates de la 7 à la 16, je suis allé seulement jusqu’à la 25, sans avoir eu l’impression de secher sur une question…)
Donc, si par hasard, des anciens avaient déjà vécu et résolu ce problème, je suis tout ouïe :smiley:
Je suis pas un ancien, mais j’ai eu le même problème : trop lent, pourtant je savais faire presque tout dans le sujet I, et 17-18 questions dans le II, peut-être même que si j’avais eu du temps, j’aurais pu en faire d’autres.
Faut que je m’entraîne encore !!