bonsoir,
j’ai un exo a faire où je dois montrer que M_{n}(C) dense dans GL_{n}(C)
donc bon j’utilise l’equivalence de la densité en disant qu’il suffit que je trouve une suite de matrices inversibles qui tend vers n’importe quel matrice complexe
i.e \forall M \in M_{n}(C) \ \ \exists (A_{p}) \in GL_{n}(C) \ \ | \ p \rightarrow \infty \ , \ \ A_{p} \rightarrow M
donc bien sure la densité c’est quelque chose d’assez puissant donc je m’attends à faire une grosse démonstration.
voila ce que je considère :
A_{p} = M + \frac {I_{n}}{p}
et j’ai donc :
p \rightarrow \infty \ , \ A_{p} \rightarrow M \ or \ det( A_{p} )=det( M + \frac {I_{n}}{p} )
or M admet un nombre fini de valeurs propres donc \exists p \ | \forall q>p \ , \ det( M+\frac{I_{n}}{q}) \ne 0 \ \Rightarrow A_{q} \in GL_{n}(C)
Qu’est-ce que vous en penser, ce qui me dérange c’est que la démo tient sur 3 lignes donc j’ai l’impression d’avoir oublié quelque chose (suite de matrices inversibles à partir d’un certain rang peut-etre …)
c’est à rendre sur feuille …
On vient de faire cet exo cette après midi, j’ai procédé comme cela, et c’est correct (la démo est aussi valable dans le corps des réels!).
Tu peux t’amuser à montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense, dans le cas complexe, et démontrer que c’est faux sur les réels.
Plus difficile maintenant, et dans la continuite ( 
) naturelle de la topologie matricielle : montrer que Gln(C) est connexe par arcs…
ca devrait pas te deranger le fait d’avoir une suite de matrices inversibles seulement à partir d’un certain rang , c meme obligatoire puisque tu fais tendre n–>+infini
un autre exemple dans ce meme style:
montrer que D_n(C) est dence dans M_n(C)
Pour la connexité par arc de Gln(C) , pour ceux que ça intéresse , une idée de démonstration :
soit M et N inversibles , on s’intéresse à l’ensemble E des z de C tels que det ( zM +(1-z) N) non nul .
E est un ouvert de C ( comme complémentaire du fermé de C que constitue les solutions z de det (zM +(1-z)N )=0
E est connexe par arc .
soit f : E —> Gln(C)
z → zM +(1-z) N
f est continue ( facile à montrer)
L’image continue d’un connexe par arc est connexe par arc , donc f(E) est connexe par arc .
0 et 1 sont dans E , car f(0)=N et f(1)=M et N et M inversibles .
donc M et N éléments de f(E) sont reliables par un arc continu de matrice inversibles .
Pour la connexité par arc de Sln(C) il faut utiliser le fait que les matrices de transvections engendrent Sln(C) .
et par exemple , on peut passer continuement d’une matrice Id + a Eij à la matrice Id +b Ekl en introduisant la fonction
t —> (Id +at Eij)0 (Id +b(1-t)Ekl ) définie sur [ 0 ,1]
Philippe PATTE a écrit:
ThSQ, le retour ! 
Juste un petit tour. C’est du sérieux cette année !
Pour Sl_n(C) on peut aussi trigonaliser, on vire continument les éléments hors diagonale ('stoche …). Et il reste à montrer qu’on peut passer continument de (a1, .., an), (produit = 1) à (1, .., 1) en gardant le produit = 1 ('stoche aussi).
Thsq ,
comment passes tu continument d’une matrice A diagonale avec det A =1 à la matrice identité en gardant le déterminant ?
C’est si fastoche que cela ?
Si A = \textrm{Diag}(a_1,\dots,a_n) avec \prod a_i = 1, et si a_j = \rho_j e^{i \theta_j}, alors le chemin A(t) = \textrm{Diag}(a_1^{1-t}, \dots , a_{n-1}^{1-t}, a_1^t \dots a_{n-1}^t a_n) (en définissant localement a_j^t = \rho_j^t e^{i t \theta_j}) convient.
Merci je n’avais pas vu , c’est fin !
cependant Y aurait pas à discuter dans le cas où des ai sont < 0 ?
En fait, les a_j sont même complexes, et il est vrai que a_j^t pour t non entier n’est pas défini de manière univoque. Mais en posant a_j = \rho_j e^{i \theta_j} et, pour t \in [0, 1], a_j^{t} = \rho_j^{t} e^{i t \theta_j}, tout se passe bien.
(J’édite mon premier post pour que tout soit plus clair)
Bien , je dirais que E c’est tout le plan sauf un nombre fini de points , et que si on considère deux points distincts de E on peut définir une ligne " polygonale" incluse dans E qui les rejoint .
je précise un peu plus .
Le plan P privé d’un ensemble dénombrable F de points de P , est connexe par arc .
soit M et N deux points en dehors de F .
On peut considérer la médiatrice D de [ MN ]
l’ensemble G des points P de D tel que le segment [ M P] ne rencontre pas F est infini indénombrable ( par l’absurde sinon F serait indénombrable)
maintenant pour P décrivant G , il y a une infinité non dénombrable de segments [PN] qui ne rencontrent pas F (par l’absurde) . On choisit un tel P alors il est clair que MPN définit une ligne polygonale qui ne rencontre pas F .
)…