TheMinh a écrit:
Exercice d’analyse
On pose g = f + f’.
Trouver toutes les solutions telles que y’ + y = g.
g tend vers 0. Mq f aussi. (j’ai pas eu droit à la suite de l’exo)
Voilà, on m’a donné les énoncés comme ça, je ne peux pas donner plus de précisions si des infos manquent. (vivement que j’apprenne le tex)
Pour l’exercice 2, sans question supplémentaire (il te manque la suite), c’est largement faisable niveau terminale. 
C’est même une application directe du cours ! :shock
Sinon, le Tex s’apprend sur le tas, ça finit par rentrer, tu verras ! 
\displaystyle \int_a^b f(x) dx
\displaystyle \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} = \frac {\pi^2}{6}
Etc.
Hachino a écrit:
\displaystyle \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} = \frac {\pi^2}{6}
Etc.
Je corrige :
\displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} = \frac {\pi^2}{6}
TheMinh a écrit:
[quote=« TheMinh »]
Exercice 2 :
Soit A appartenant à Mn(R) / A^3 + A^2 + A = 0.
Montrer que A admet au plus 3 valeurs propres, dont 1 réelle et 2 imaginaires de même ordre.
Avec a l’endomorphisme canoniquement associé à A, montrer que rg(a)est pair.
Je veux bien des éléments de corrigé pour cet exercice, vous qui avez l’air de l’avoir déjà vu !
[/quote]
En écrivant l’équation vérifiée par A sous la forme
A(A²+A+1), tu as là un polynome annulateur de A: P=X*(X²+X+1)(polynome scindé à racines simples), donc A est diagonalisable sur C. On sait que le spectre de A est inclu dans les racines de P
donc sp(A) C { 0, j, j²}
Don A sera semblable à une matrice avec des 0, des j et des j² sur la diagonale.
On doit avoir une matrice réelle, donc il faut qu’on est le même nombre de j et j² pour que « ça compense », on peut l’affirmer avec la trace** qui doit être un réel vu qu’on travaille sur Mn(R).
Mes exercices:
Ex1: Soit n>2 , (a,b) appartiennent à R² tel que: quelquesoit M appartenant à Mn(R), u(M)=aM+ b t(M)
(t pour transposé)
- montrer que u est diagonalisable, et donner ses éléments propres
- calculer tr(u) et det(u)
*Ex2: **
n, entier naturel non nul, on pose fn(x)=(1-sin(x/n))^n si x appartient à [0, n Pi/2], et 0 ailleur
déterminer lim ( n-> +oo) { int(fn(x)) x=0..+oo}
Oui la trace, je devais penser à autre chose en écrivant
Objet-Trouvé a écrit:
Ex2:
n, entier naturel non nul, on pose fn(x)=(1-sin(x/n))^n si x appartient à [0, n* Pi/2], et 0 ailleur
déterminer lim ( n-> +oo) { int(fn(x)) x=0..+oo}
[quote=« TheMinh »]
[quote=« TheMinh »]
Exercice 2 :
Soit A appartenant à Mn(R) / A^3 + A^2 + A = 0.
Montrer que A admet au plus 3 valeurs propres, dont 1 réelle et 2 imaginaires de même ordre.
Avec a l’endomorphisme canoniquement associé à A, montrer que rg(a)est pair.
Je veux bien des éléments de corrigé pour cet exercice, vous qui avez l’air de l’avoir déjà vu !
[/quote]
En écrivant l’équation vérifiée par A sous la forme
A(A²+A+1), tu as là un polynome annulateur de A: P=X*(X²+X+1)(polynome scindé à racines simples), donc A est diagonalisable sur C. On sait que le spectre de A est inclu dans les racines de P
donc sp(A) C { 0, j, j²}
Don A sera semblable à une matrice avec des 0, des j et des j² sur la diagonale.
On doit avoir une matrice réelle, donc il faut qu’on est le même nombre de j et j² pour que « ça compense », on peut l’affirmer avec la trace** qui doit être un réel vu qu’on travaille sur Mn(R).
Mes exercices:
Ex1: Soit n>2 , (a,b) appartiennent à R² tel que: quelquesoit M appartenant à Mn(R), u(M)=aM+ b t(M)
(t pour transposé)
- montrer que u est diagonalisable, et donner ses éléments propres
- calculer tr(u) et det(u)
*Ex2: **
n, entier naturel non nul, on pose fn(x)=(1-sin(x/n))^n si x appartient à [0, n Pi/2], et 0 ailleur
déterminer lim ( n-> +oo) { int(fn(x)) x=0..+oo}
[/quote]
Pour l’exo 2, la limite vaut 1 ? Et c’est bien le théorème de convergence dominée qu’on applique ?
Sinon pour l’exo 1, si t’a des éléments de réponses aussi, j’suis preneur !
XioN a écrit:
Ex1: Soit n>2 , (a,b) appartiennent à R² tel que: quelquesoit M appartenant à Mn(R), u(M)=aM+ b t(M)
(t pour transposé)
- montrer que u est diagonalisable, et donner ses éléments propres
- calculer tr(u) et det(u)
Sinon pour l’exo 1, si t’a des éléments de réponses aussi, j’suis preneur !
J’écrirais u(M)=\lambda M et bidouillerais un peu pour trouver une condition sur \lambda et obtenir finalement n^2 valeurs propres distinctes. Mais je l’ai pas [encore] essayé 
Edit: j’obtiens finalement pas n^2 valeurs propres distinctes mais seulement 2 : a-b et a+b mais je suis pas sûr de mon coup 
Si quelqu’un peut confirmer..
Edit2 : ce que j’ai dis est juste (j’ai retrouvé cet exo dans mes papiers de cette année!) mais on peut aussi partir sur le fait que u=a\cdot \mathrm{id} + b\cdot \theta où \theta : M \mapsto \ ^t M
Mais a-b et a+b, c’est en prenant les cas particuliers où M est symétrique ou antisymétrique…mais ca ne l’est pas forcément pour une matrice quelconque non ?
Pour l’exercice2 c’est bien ça 
Pour l’exercice1, c’est le bon résultat,je suis tout de suite parti sur définition du vecteur propre et décomposition entre matrice d’une matrice comme somme matrice symétrique et antisymétrique, et après il ne reste que du calcul.
En question il m’a juste demandé de citer le théorème de convergence dominé, et des idées pour montrer le résultat sur les matrices symétriques et antisymétriques.
XioN a écrit:
Mais a-b et a+b, c’est en prenant les cas particuliers où M est symétrique ou antisymétrique…mais ca ne l’est pas forcément pour une matrice quelconque non ?
Mn(R) est la somme direct des matrices symétriques et antisymétriques.
Donc si tu prends une base adaptée à la décomposition, tu auras des homotéties de rapport ce que tu as écris
Hello,
Justement ça va marcher parce que \displaystyle\mathcal{M}_n(\mathbb{R})=\mathcal{A}_n(\mathbb{R})\oplus\mathcal{S}_n(\mathbb{R})
Edit : Grilled en beauté!
Ah oui merci, j’oublie tout le temps cette propriété (certes très importante !) ^^
Et sinon, si on prend u(M)=lambda M, on obtient (a-lambda)M + bt(M) = 0 donc soit M est nulle soit b=0 et lambda=a, donc a est aussi une valeur propre ? Donc ca nous fait 3 valeurs propres distinctes pour le moment…? Comment montrer qu’il y en a n² distinctes ?! 
Souvent dans ce genre de truc, on peut dire :
¤ si la famille {M,tM} est liée, alors …
¤ si la famille {M,tM} est libre, alors …
Et ça permet de conclure ici
Bon c’est pas très élégant là 
On suppose donc qu’il existe M non nulle et \rm\lambda\in\mathbb{R} tq \rm u(M)=\lambda M
\displaystyle\rm (a-\lambda)M+b\ ^{t}M=0
¤ 1er cas : {\displaystyle\rm M,^{t}M} est libre.
Alors \displaystyle\rm \lambda=a et \displaystyle\rm b=0, mais il y a un souci parce que b est a priori quelconque, donc c’est impossible.
¤ 2è cas : {\displaystyle\rm M,^{t}M} est liée.
Donc il existe un réel \displaystyle\rm k\not=0 tel que \displaystyle\rm ^{t}M=kM.
On a alors : \displaystyle\rm (a+kb-\lambda)M=0 donc \displaystyle\rm \lambda=a+kb.
Là on est un peu bloqué, et donc on va regarder ce qu’il se passe pour k=1. Ca veut dire \displaystyle\rm ^{t}M=M donc M est symétrique.
Conséquence : l’ensemble des matrices symétriques \rm\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) est le sous-espace propre associé à la valeur propre \rm \lambda=a+b.
Même raisonnement avec k=-1, et on trouve les matrices antisymétriques \rm\mathcal{A}_n(\mathbb{R})
Ce qui nous sauve, c’est que \rm\mathcal{M}_n(\mathbb{R})=\mathcal{A}_n(\mathbb{R})\oplus\mathcal{S}_n(\mathbb{R}), et donc que la somme des dimensions des se-p = n².
Et u est diagonalisable.
C’est le raisonnement que j’ai adopté, c’est loin d’être le meilleur (si tant est qu’il est juste..)
Asymetric a écrit:
[quote=« Hachino »]
\displaystyle \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} = \frac {\pi^2}{6}
Etc.
Je corrige :
\displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} = \frac {\pi^2}{6}
[/quote]
Ooooops… 
Héhéhéhéhé… 
S’en va discrètement 
Encore d’autres planches :
exo 1 : série de fonction. Domaine de déf, continuité, dérivabilité, intégrabilité.
exo 2 : Soient A, B appartenant à Mn(R) / Sp(A) et Sp(B) distincts.
- Soit P le polynôme caractéristique de A. Mq P(B) est inversible.
- Pour X appartenant à Mn(R), mq AX - XB = 0 ssi X = 0.
En déduire que pour toute matrice M de Mn(R), il existe un unique X / AX- XB = M.
multiplier à gauche par A ou à droite par B
exo 1 : nature de la somme des (2n+1)/(n²(n+2)²) et somme.
exo 2 : Soit A de Mn(R) / A^4 + A^3 + A^2 + A + In = 0.
Mq n est pair et que -tr(A) appartient à N.
TheMinh a écrit:
Encore d’autres planches :
En déduire que pour toute matrice M de Mn(R), il existe un unique X / AX- XB = M.
[spoiler]Pour cette question, on peut faire une belle preuve en utilisant la question 2, et se passer de montrer l’existence+unicité:
\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) --> \mathcal{M}_n(\mathbb{C})
X --> AX - XB
et on montre qu’il est bijectif.[/spoiler]
