Bonjour,
J’ai un projecteur p de rang r dans un espace vectoriel E de dimension n.
On a E = Im(p) + Ker(p) (somme directe)
Quand on prend une base de E adaptée à la somme directe, on a :
BIm(p) = (e1 , . . . , er) une base de Im(p)
BKer(p) = (er+1 , . . . , en) une base de Ker(p)
BE = BIm(p)U BKer(p)
Et on obtient M(p, BE) =
Ir 0
0 0
J’ai pas trop compris pourquoi on obtient cette matrice, pourquoi des 0 sur la diagonale pour la base de Kerq, pourquoi des 0 ailleurs,..
Merci d 'avance
Pour un projecteur, on a \mathrm{im}\ p = \ker (p - id_E) donc tous les vecteurs de BIm(p) sont invariants par p, d’où la « diagonale » de 1. Sinon les éléments de la base de Ker p ont une image nulle d’où les colonnes nulles à partir de r+1.
Merci, c’est un peu plus clair, mais pas tout à fait 
Qu’est ce qui te semble encore obscur ?
-im p = ker (p - idE)
-Et je n’arrive pas à voir que les colonnes nulles à partir de r+1 même si ça semble évident normalement
-Et je n’arrive pas à voir que les colonnes nulles à partir de r+1 même si ça semble évident normalement
Qu’est-ce que représente la colonne i ? C’est l’image par p du vecteur e_i, par définition.
Or, ici, pour i\geq r+1, e_i\in Ker(p), donc son image par p est nulle : la colonne est nulle aussi.
-im p = ker (p - idE)
Tu sais que p^2=p ? C’est la définition d’un projecteur, une application linéaire telle que p^2=p.
Donc (p-id)\circ p est l’application nulle : les éléments de Im(p) sont dans Ker(p-id).
Réciproquement, si x\in Ker(p-id), on a p(x)=x, donc x\in Im(p).
Au final les deux ensembles sont égaux.
Pour retrouver ça assez facilement, tu peux faire un dessin dans R3, genre un plan et une droite (enfin c’est ce que je fais moi en tout cas)
c’es bon, merci !
Pourquoi une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre ?
Pose une relation de liaison et utilise le produit scalaire.
Prend une famille orthogonale (e_1,\cdots,e_d) de vecteurs non nuls dans un espace vectoriel muni du produit scalaire <|> (parce que je sais pas écrire de produit scalaire plus joli avec Latex, mais si quelqu’un a mieux je suis preneur !)
Comment montrer qu’une famille est libre ?
Suppose des scalaires a_1,\cdots,a_d tels que \sum_{i=1}^da_ie_i=0, il suffit de montrer que ces scalaires sont nuls. C’est la définition d’une famille libre.
Maintenant quoi ? La seule chose que l’on sait sur notre famille, c’est qu’elle est orthogonale. On utilise donc l’orthogonalité :
Si j\in[\![1,d]\!], on produit-scalairise par e_j pour avoir \sum_{i=1}^da_i<e_i|e_j>=0, et comme <e_i|e_j>=0 si i\neq j, on obtient a_j||e_j||^2=0, donc a_j=0 car e_j est non nul d’après les hypothèses.
Tada, comme j est quelconque, on a bien tous les a_i nuls, et la famille est bien libre 
Oui j’avais commencé par faire ça mais après je me suis embrouillé… merci !
J’ai un petit problème avec cette notation de projection orthogonale que je ne comprends pas :
(e1,…ep) base orthonormale de F
pF(x) = somme (de i= 1 à p) < ei | x>ei
En fait, si x=\sum_{i=1}^n x_i e_i, donc pF(x)=\sum_{i=1}^p x_i e_i, or <x,ej>=\sum_{i=1}^n x_i <e_i,e_j>=x_j puisque (e1,…ep) est une BON.
Donc pF(x)=\sum_{i=1}^p x_i e_i=\sum_{i=1}^p <x,e_i> e_i
Merci, par contre je comprends pas ta 1ère ligne
J’ai prolongé la base de F en une base de E, et j’ai décomposé x dans cette base. Ensuite, comme p projette x sur F, je n’ai gardé que les composantes de x dans F.
Merci. En fait je pense que j’ai un problème avec le fait de projeter. Ce que ça donne en terme de produit scalaire.
Tu peux préciser ta question stp ?
pas vraiment, preuve que je n’ai pas bien compris
Qu’est ce que tu n’as pas bien compris dans mes précédents messages sur les projections ?