Pourquoi l'anneau nul n'est pas intègre?

Questions/Réponses par disciplines Mathématiques
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Bien le bonjour.
Relisant des trucs sur les structures algébrique je me suis retrouver à chercher pourquoi l’anneau nul ({0}, + ,・) n’est pas intègre.

On a bien que ({0}, +) est un groupe commutatif.
Et que ({0},・) est un monoïde. (d’élément neutre égale à celui de la loi « + »)
Donc ({0}, + ,・) est un anneau unitaire. De plus la loi « ・ » est commutative.
D’où ({0}, + ,・) est un anneau unitaire commutative.

D’autre part on a aucune existence de diviseur de zéro, càd on:
∀a,b∈{0}; a.b=0 ⇒ a=0 ou b=0

Ça finalise bien le fait que ({0}, + ,・) soit un anneau intègre, non? Où est la faute?

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C’est par pure convention qu’on exclut les anneaux triviaux des anneaux intègres.

Une des justifications de cette convention est d’éviter d’avoir une exception dans la caractérisation des idéaux premiers en termes de quotients (pour tout un tas de raisons, on préfère éviter que l’anneau total soit compté parmi ses idéaux premiers).

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Je vois mieux maintenant alors. Merci beaucoup!