Bonjour, je bloque sur quelques questions de ce problème: je vous ai mis en gras les questions qui me bloquent…
On pose pour tout réel x, F(x)= \int_{0}^{1} { \text{e}^{-xln(1+t^2)} } \,\text{d}{t}
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Montrer que F est définie sur R, c’est bon
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a- Calculer F(0) et F(1), c’est bon
b- montrer à l’aide d’une IPP que:
I=\int_{0}^{1} { \frac{t^2}{(1+t^2)^2} } \,\text{d}{t}=- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}F(1), c’est bon
c- en déduire une relation entre F(1) et F(2).
c’est bon, j’ai : F(2)=F(1)/2+1/4
d) Plus généralement, établir une relation de récurrence entre F(n) et F(n+1) et montrer que l’on peut ainsi calculer F(n) pour tout entier naturel n.
c’est bon, j’ai : F(n+1)= \frac{2n-1}{2n}F(n)+ \frac{1}{n2^{n+1}}
e) Calculer F(-n) pour tout entier naturel n non nul. Donner les valeurs de F(-1) et F(-2) sous forme de fractions.
C’est bon, avec la formule du binôme, j’ai : \sum_{k=0}^{n} {n!/k!(n-k!) \frac{1}{2k+1} \text{d}{t} }
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Montrer que F est décroissante sur R, c’est bon
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a- Lorsque x est strictement négatif, déterminer le sens de variation de la fonction t {} \, \longrightarrow \, {} \text{e}^{-xln(1+t^2)} sur [0;1] puis exprimer sa valeur en t=1/2. C’est bon, je trouve que c’est une fonction croissante et que en t=1/2, ça fait (4/5)^x
b- En déduire que : lim en -oo de F =+oo, c’est bon
c- Déterminer lim en -oo de F(x)/x. Qu’en résulte t-il pour la courbe représentative de F quand x tend vers -oo? Je ne vois pas trop comment calculer cette limite, je sais qu’après, ça me permet de trouver une asymptote oblique. Pour le calcul de la limite, j’avais pensé à la caractérisation séquentielle de la limite puisqu’on a une expression de F(-n) et qu’en divisant par n , on pourrait trouver la limite mais je ne m’en sors pas
5)a- Montrer que pour t compris entre 0 et 1, \frac{t^2}{2} {} \, \leq \, {ln (1+t^2)}, c’est bon
b- En déduire que : \forall {x} \, \in \, {R*} F(x) {} \, \leq \, { \int_{0}^{1} { \text{e}^{ \frac{-xt^2}{2} } } \,\text{d}{t} }
c’est bon.
c- Soit g la fonction définie sur R par g(x)= \int_{0}^{x} { \text{e}^{-u^2/2} } \,\text{d}{u}
Pour x>0, exprimer \int_{0}^{1} { \text{e}^{} \frac{-xt^2}{2} } \,\text{d}{t} à l’aide de la fonction g. En déduire que lim en +oo de F(x)=0 (on montrera que g admet une limite en +oo en comparant \text{e}^{-u^2/2} et \text{e}^{-u/2} pour u supéreieur ou égal à 1.
Je ne vois pas trop comment faire, pour le changement de variable, je n’arrive pas à trouver ce qu’il faut poser comme u, je pensais poser u=xt mais je n’arrive pas au bon résultat…
- a- Soit g(x)=- \int_{0}^{1} { \text{e}^{-xln (1+t^2)}ln(1+t^2) } \,\text{d}{t}. Justifier l’existence de g(x) pour tout réel x. C’est bon.
b) Montrer que \forall {a} {} \, \in \, {R}, | \text{e}^{a}-1-a | {} \, \leq \, {} \frac{a^2}{2} \text{e}^{|a|}.
C’est bon
c) Montrer que \forall {x0} {} \, \in \, {} R, \forall {h} {} \, \in \, {[-1;1]}, |F(x0+h)-F(x0)-hg(x0)| {} \, \leq \, {} h^2 \int_{0}^{2} { \text{e}^{-x0ln(1+t^2)}[ln(1+t^2)]^2 } \,\text{d}{t}
Je sais pas trop comment m’y prendre…
d) En déduire que F est dérivable et préciser F’. Retrouver le résultat de la troisième question. Je vois bien qu’il faut chercher la limite du taux d’accroissement de f mais ce qui me gène, c’est le g(x0)…
e) Calculer F’(0). Je pense qu’une fois la dérivée trouvée, il n’y aura plus de problème!
Merci d’avance pour votre aide
