Produit de sinus

Questions/Réponses par disciplines Mathématiques
1

Bonsoir.
Je dois prouver que \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}.

J’ai écrit que \displaystyle P(X)=1+X+X^2+...+X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-w^k) où w=\exp(\frac{2i\pi}{n}), ainsi \displaystyle n=\prod_{k=1}^{n-1}(1-w^k).

Or $(1-w^k)=\exp(\frac{-ik\pi}{n})(\exp(\frac{ik\pi}{n})-\exp(\frac{-ik\pi}{n}))=$$2i\sin(\frac{k\pi}{n})\exp(\frac{-ik\pi}{n})$.

Donc \displaystyle n=(2i)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\exp(\frac{-ik\pi}{n})\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n}).

Mon souci est le calcul de \displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\exp(\frac{-ik\pi}{n})=\prod_{k=1}^{n-1}q^k avec q=\exp(\frac{-i\pi}{n}).

C’est égale à $q^1q^2q^3…q^{n-1}=q^{1+0}q^{1+1}q^{1+2}…q^{1+(n-2)}=q^{n-1}q^{0+1+2+…+(n-2)}$$=q^{n-1}q^{\frac{(n-1)n}{2}}$.

Ainsi, je trouve $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\exp(\frac{-ik\pi}{n})=q^{n-1}q^{\frac{(n-1)n}{2}}$$=\exp(\frac{-i\pi(n-1)}{n})\exp(\frac{-i\pi(n-1)}{2})$.

J’ai donc au final \displaystyle n=(2i)^{n-1}\exp(\frac{-i\pi(n-1)}{n})\exp(\frac{-i\pi(n-1)}{2})\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n}).

Mais j’ai pas l’impression d’être sur la bonne piste :blush:

2

Clara.S a écrit:

C’est égale à $q^1q^2q^3…q^{n-1}=q^{1+0}q^{1+1}q^{1+2}…q^{1+(n-2)}=q^{n-1}q^{0+1+2+…+(n-2)}$$=q^{n-1}q^{\frac{(n-1)n}{2}}$.
Non y a pas de q^(n-1) ou alors du q^(n-1) * q^(n-1)(n-2)/2 mais c’est égal à q^(n(n-1)/2) quand même
Tu peux aussi remarquer que i = exp(iPi/2) pour conclure à la fin.

3

Merci :slight_smile:

4

Clara.S a écrit:

Bonsoir.
Je dois prouver que \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}.

J’ai écrit que \displaystyle P(X)=1+X+X^2+...+X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-w^k) où w=\exp(\frac{2i\pi}{n}), ainsi \displaystyle n=\prod_{k=1}^{n-1}(1-w^k).
J’adore ce genre de solutions qui tombent d’on ne sait où !

5

Pour avoir une solution trouvable :

\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\sin(\frac{k\pi}{n})|.

=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\frac{\exp(\frac{k\pi}{n})-\exp(-\frac{k\pi}{n})}2|
= 2^{-(n-1)}\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\exp(2*\frac{k\pi}{n})-1|

Là on utilise que \displaystyle P(X)=1+X+X^2+...+X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-w^k) où w=\exp(\frac{2i\pi}{n}). D’où \displaystyle n=\prod_{k=1}^{n-1}(1-w^k)=\prod_{k=1}^{n-1}|w^k-1|.
Donc :
\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}

6

Salut,

On note \varphi(n)=\left\{ 1\leq k\leq n-1\setminus k\wedge n=1\right\}, l’indicatrice d’Euler. Une extension possible est l’identité suivante :

  • \displaystyle \prod_{k\in \varphi(n) }\sin\,\frac{k\pi}{n}=\frac{1}{\displaystyle 2^{\displaystyle|\varphi(n)|}},\,n\neq p^i,\,p\in\mathbb{P}
  • \displaystyle \prod_{k\in\varphi(n)}\cos\,\frac{k\pi}{n}=\frac{(-1)^{\displaystyle \frac{\displaystyle |\varphi(n)|}{\displaystyle 2}}}{2^{\displaystyle |\varphi(n)|}},\,\forall n\in\mathbb{N}
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Thaalos a écrit:

[quote=« Clara.S »]
Bonsoir.
Je dois prouver que \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}.

J’ai écrit que \displaystyle P(X)=1+X+X^2+...+X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-w^k) où w=\exp(\frac{2i\pi}{n}), ainsi \displaystyle n=\prod_{k=1}^{n-1}(1-w^k).
J’adore ce genre de solutions qui tombent d’on ne sait où !
[/quote]
Cela ne tombe pas du tout « d’on ne sait où », c’est une manière très naturelle de faire tomber le produit.

8

Dadin a écrit:

Cela ne tombe pas du tout « d’on ne sait où », c’est une manière très naturelle de faire tomber le produit.
Ben si, ça tombe d’on ne sait où… jusqu’à ce qu’on le sache :grin:

9

Dadin a écrit:

Cela ne tombe pas du tout « d’on ne sait où », c’est une manière très naturelle de faire tomber le produit.
Encore une fois, c’est « naturel » quand on l’a déjà fait…
Moi qui ne l’ai pas fait, je trouve que c’est de l’ordre de la solution parachutée !
VictorVVV a écrit:
Pour avoir une solution trouvable :

\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\sin(\frac{k\pi}{n})|.

=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\frac{\exp(\frac{k\pi}{n})-\exp(-\frac{k\pi}{n})}2|
= 2^{-(n-1)}\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\exp(2*\frac{k\pi}{n})-1|

Là on utilise que \displaystyle P(X)=1+X+X^2+...+X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-w^k) où w=\exp(\frac{2i\pi}{n}). D’où \displaystyle n=\prod_{k=1}^{n-1}(1-w^k)=\prod_{k=1}^{n-1}|w^k-1|.
Donc :
\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}
Celle-là est mieux, c’est ce que j’ai fait, mais j’ai bien perdu quinze minutes avant de voir qu’on pouvait mettre le module sans rien changer.

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C’est marrant, j’allais justement poser la question ^^.

Et si on avait à la place de kPi/n, kthéta avec théta différent de Pi/n ? Désole, j’ai essayer en latex mais c’était trop laborieux ^^.

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Zweig a écrit:

Salut,

On note \varphi(n)=\left\{ 1\leq k\leq n-1\setminus k\wedge n=1\right\}, l’indicatrice d’Euler. Une extension possible est l’identité suivante :

  • \displaystyle \prod_{k\in \varphi(n) }\sin\,\frac{k\pi}{n}=\frac{1}{\displaystyle 2^{\displaystyle|\varphi(n)|}},\,n\neq p^i,\,p\in\mathbb{P}
  • \displaystyle \prod_{k\in\varphi(n)}\cos\,\frac{k\pi}{n}=\frac{(-1)^{\displaystyle \frac{\displaystyle |\varphi(n)|}{\displaystyle 2}}}{2^{\displaystyle |\varphi(n)|}},\,\forall n\in\mathbb{N}
    Et c’est quoi l’utilité de ça ? J’aimerai bien voir une application en arithmétique.
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Aucune utilité, je pense, hormis le fait que ça reste un bon exercice.