Racine de n n'est pas rationnel si ...

Questions/Réponses par disciplines Mathématiques
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On veut montrer que si n un entier positif n’est pas un carré parfait alors racine de n n’appartient pas à Q.

Supposons que racine de n = p/q avec p,q appartenant respectivement à N et à N*.
Alors n= p²/q² donc p²=q²*n donc p est un multiple de n et donc q aussi.
Ce qui prouve p/q n’est pas irréductible. donc racine de n est irrationnel

Ceci est correct?
Car dans mon livre on me donne l’indication d’utiliser la décomposition en facteur premiers.
Mais ma démo marche ou pas?
Et sinon pouvez me donner quelques indications?
Ou proposez votre démonstration.

Merci de vos avis

EDIT: Si p² est un multiple de n , est ce que p est multiple de n? je pense que oui mais je souhaiterais confirmation ou réfutation

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pitchone a écrit:

EDIT: Si p² est un multiple de n , est ce que p est multiple de n? je pense que oui mais je souhaiterais confirmation ou réfutation
100 est un multiple de 25, est-ce que 10 l’est ?

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pitchone a écrit:

EDIT: Si p² est un multiple de n , est ce que p est multiple de n? je pense que oui mais je souhaiterais confirmation ou réfutation
C’est faux en général (voir l’exemple de Ragoudvo), mais c’est vrai lorsque n est premier grâce au lemme de Gauss.
Tu peux alors adapter ta preuve pour exploiter çà (en fait ce sera quasiment la preuve par la décomposition en facteurs premiers.) Indication choisis un diviseur premier de n (pas n’importe lequel !)

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Ragoudvo a écrit:

[quote=« pitchone »]
EDIT: Si p² est un multiple de n , est ce que p est multiple de n? je pense que oui mais je souhaiterais confirmation ou réfutation
100 est un multiple de 25, est-ce que 10 l’est ?
[/quote]
Ei si n n’est pas un carré parfait ça marche non?
Car dans ton contre-exemple 25 = 5²

Et en testant pas mal de trucs je suis pas tombé sur un contre exemple avec n pas carré parfait. Merci.

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En fait tu as p² = q² n

Si n n’est pas un carré parfait, il existe r premier
tel que la puissance dans la décomposition de n soit impaire
donc on écrit n = m r^2k+1

p² = q² m r^2k+1
donc p² divise r^2k+1 donc p divise r^k+1 donc p² divise r^2k+2
puis q² divise r donc q divise r
Absurde car p et q sont premiers entre eux

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Deviling a écrit:

En fait tu as p² = q² n

Si n n’est pas un carré parfait, il existe r premier
tel que la puissance dans la décomposition de n soit impaire
donc on écrit n = m r^2k+1

p² = q² m r^2k+1
donc p² divise r^2k+1 donc p divise r^k+1 donc p² divise r^2k+2
puis q² divise r donc q divise r
Absurde car p et q sont premiers entre eux
Non, c’est le contraire : c’est r^{2k+1} qui divise p².
Du coup, si on écrit p = l r^{k'} avec PGCD(l,r) = 1, on aura l^2 r^{2k'} = q^2 r^{2k+1}.
r^{2k+1} est premier avec l² donc r^{2k+1} divise r^{2k'}, et donc k' \geq k+1, et q^2 = l^2 r^{2k'-2k-1} avec 2k'-2k1-1 \geq 1. Du coup, r divise q aussi, et là, c’est le drame, car on aurait pu prendre p et q premiers entre eux.

7

On aurait dû…
Question stupide : Si on écrit \sqrt{n} = \frac{p}{q}, avec q \not = 0, et pgcd(p,q)=1, pourquoi ne peut-on pas dire :
n = \frac{p^{2}}{q^{2}} \in \mathbb{N}, donc q^{2} = 1 (car premier avec p), et essayer de trouver des choses à partir de ça ?

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Thaalos a écrit:

On aurait dû…
Question stupide : Si on écrit \sqrt{n} = \frac{p}{q}, avec q \not = 0, et pgcd(p,q)=1, pourquoi ne peut-on pas dire :
n = \frac{p^{2}}{q^{2}} \in \mathbb{N}, donc q^{2} = 1 (car premier avec p), et essayer de trouver des choses à partir de ça ?
Parce que 2^2 est premier avec 5 (et 25 aussi), 5 étant premier, mais 2 \neq 1 ?

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pitchone a écrit:

[quote=« Ragoudvo »]

[quote=« pitchone »]
EDIT: Si p² est un multiple de n , est ce que p est multiple de n? je pense que oui mais je souhaiterais confirmation ou réfutation
100 est un multiple de 25, est-ce que 10 l’est ?
[/quote]
Ei si n n’est pas un carré parfait ça marche non?
Car dans ton contre-exemple 25 = 5²

Et en testant pas mal de trucs je suis pas tombé sur un contre exemple avec n pas carré parfait. Merci.
[/quote]
a^2.b divise (a.b)^2 mais ne divise pas a.b où a et b sont des entiers non nuls (et a > 1).
Donc il ne suffit pas que n ne soit pas un carré parfait, il faut qu’il n’ait aucun facteur carré.

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Sinon y a une manière plutôt élégante de montrer ça :
On considère E=\{p \in \mathbb N |p \sqrt n \in \mathbb N \}
On suppose \sqrt n rationnel (mais non entier). Alors E est non vide. En tant que partie de \mathbb N elle admet un minimum noté m.
Alors, m( \sqrt n - \lfloor \sqrt n \rfloor ) \sqrt n = mn- m \sqrt n \lfloor \sqrt n \rfloor \in \mathbb N
Et donc, vu que m( \sqrt n - \lfloor \sqrt n \rfloor )=m \sqrt n -m \lfloor \sqrt n \rfloor \in \mathbb N alors m( \sqrt n - \lfloor \sqrt n \rfloor ) \in E ce qui contredit la minimalité de m.

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LB a écrit:

[quote=« Thaalos »]
On aurait dû…
Question stupide : Si on écrit \sqrt{n} = \frac{p}{q}, avec q \not = 0, et pgcd(p,q)=1, pourquoi ne peut-on pas dire :
n = \frac{p^{2}}{q^{2}} \in \mathbb{N}, donc q^{2} = 1 (car premier avec p), et essayer de trouver des choses à partir de ça ?
Parce que 2^2 est premier avec 5 (et 25 aussi), 5 étant premier, mais 2 \neq 1 ?
[/quote]
Dans ma mémoire, \frac{25}{4} n’est pas un entier…
Ici, je demande pour quelle raison si \frac{p^{2}}{q^{2}} \in \mathbb{N}, on ne peut pas dire que q^{2} = 1 (car si q^{2} \not = 1, il me paraît dur que \frac{p^{2}}{q^{2}} soit entier avec p et q premiers entre eux…) ?

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Au temps pour moi, j’avais mal saisi ton propos :wink:

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LB a écrit:

Au temps pour moi, j’avais mal saisi ton propos :wink:
J’ai rédigé à la hâte.
Saurais-tu où se trouve l’erreur ? Et s’il n’y en a pas, pourquoi je ne vois nulle part quelqu’un utiliser ce genre de relation… ?

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Thaalos a écrit:

[quote=« LB »]
Au temps pour moi, j’avais mal saisi ton propos :wink:
J’ai rédigé à la hâte.
Saurais-tu où se trouve l’erreur ? Et s’il n’y en a pas, pourquoi je ne vois nulle part quelqu’un utiliser ce genre de relation… ?
[/quote]
Montrer que \sqrt(n) est irrationnel revient à montrer que si q^2 | p^2 (même q^k | p^k, k \in \mathbb{N}^*) alors q | p. C’est ce que tu utilises en fait pour dire que q=1, non ? Et montrer cela nécessite, je pense, la décomposition en facteurs premiers.

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Je suppose que \sqrt{n} est rationnel, je l’écris de la forme \frac{p}{q} avec pgcd(p,q) = 1.
J’élève au carré, et je constate que comme n est entier, \frac{p^{2}}{q^{2}} est aussi entier.
On sait que si pgcd(p,q) = 1, alors pgcd(p^{2},q^{2}) = 1 (théorème basé sur la décomposition en facteurs premiers oui), et donc on trouve q^{2} = 1, car sinon, n n’est pas entier.

En quoi cela pose-t-il problème ?

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Aucun. Mais la décomposition en facteurs premiers est un résultat fort.

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Thaalos a écrit:

Je suppose que \sqrt{n} est rationnel, je l’écris de la forme \frac{p}{q} avec pgcd(p,q) = 1.
J’élève au carré, et je constate que comme n est entier, \frac{p^{2}}{q^{2}} est aussi entier.
On sait que si pgcd(p,q) = 1, alors pgcd(p^{2},q^{2}) = 1 (théorème basé sur la décomposition en facteurs premiers oui), et donc on trouve q^{2} = 1, car sinon, n n’est pas entier.

En quoi cela pose-t-il problème ?
Aucun problème, je voulais juste dire que, soit on connait le théorème p^2 | q^2 donc p | q et dans ce cas on procède comme tu l’as fait, soit on ne le connait pas et dans ce cas on sera obligé en quelque sorte de le redémontrer sous une forme ou une autre et c’est-ce que demande l’auteur du fil je pense.

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V@J a écrit:

[quote=« Deviling »]
En fait tu as p² = q² n

Si n n’est pas un carré parfait, il existe r premier
tel que la puissance dans la décomposition de n soit impaire
donc on écrit n = m r^2k+1

p² = q² m r^2k+1
donc p² divise r^2k+1 donc p divise r^k+1 donc p² divise r^2k+2
puis q² divise r donc q divise r
Absurde car p et q sont premiers entre eux
Non, c’est le contraire : c’est r^{2k+1} qui divise p².
Du coup, si on écrit p = l r^{k'} avec PGCD(l,r) = 1, on aura l^2 r^{2k'} = q^2 r^{2k+1}.
r^{2k+1} est premier avec l² donc r^{2k+1} divise r^{2k'}, et donc k' \geq k+1, et q^2 = l^2 r^{2k'-2k-1} avec 2k'-2k1-1 \geq 1. Du coup, r divise q aussi, et là, c’est le drame, car on aurait pu prendre p et q premiers entre eux.
[/quote]
Autant pour moi, j’écrivais divise quand je pensais aux multiples.
Belle erreur !

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J’ai toujours dit que c’est pas normal d’avoir un symbole symétrique par rapport à l’axe vertical pour dénoter la relation d’ordre qu’est la divisibilité…

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LB a écrit:

J’ai toujours dit que c’est pas normal d’avoir un symbole symétrique par rapport à l’axe vertical pour dénoter la relation d’ordre qu’est la divisibilité…
Il faut arrêter d’être aussi pointilleux sur les notations, tu vas finir par avoir des problèmes le jour où tu feras des distributions… :grin: