Bonjour à tous,
Nombreux sont ceux d’entre vous qui pensent qu’un bon exercice vaux mieux qu’une dizaine…
C’est pour cela que j’ai crée ce topic, vous invitant à partager toute sorte d’exercice qui vous semble pertinent, originale et surtout enrichissant…
Avec peut être, si vous jugez nécessaire, les idées de la solution..ou la solution entière si vous la voyez intéressante…
Pour ainsi dire, voici un exercice intéressant, voici ce qu’il m’a appris..
Espérant que ça soit bénéfique aux plus grands nombres de taupins et d’autre, je vous implore d’être soigneux et précis…
Merci d’avance..de partager cette passion qu’est les mathématiques
PS: Même on poste une solution juste après l’énoncé…ce n’est pas grave l’important et de partager…et de s’instruire…bien sur pour les autres je demande vivement de bien se creuser la tête avant de regarder la solution…Peut être ils découvriront de nouvelles idées qu’ils partagerons eux aussi
Allez bougez vous…bougez vos neurones et faites bougez ainsi ce topic
Voilà je commence avec cet exercice que j’avais posté il y a deux jours…
Je remercie THSQ avec qui l’échange d’idée m’a permis de mieux voir des choses…
D’après THSQ:
Abstract: Ou l’on découvre une caractérisation, utilisant les suites, de la convergence uniforme sur les compacts.
Ou l’on apprend à ne pas se prendre les pieds dans les suites extraites.
Voici le lien du topic
Voici la solution proposé par THSQ
et ma proposition
à vos remarques et vos propositions d’exercices… 
On sait tous que toute application linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie est continue.
Proposer au moins deux méthodes pour démonter cela
Quelle sont les applications bilinéaires uniformément continue? Justifier…
Caractérisez les matrices de Mn(C) qui s’écrivent sous forme d’exponentielle…
Qu’en est-ils pour les matrice de Mn(R)?
Ps: J’entends par matrice qui s’écrivent sous forme d’exponentielle, les matrices A tel qu’il existe une autre matrice M telle que A = exp(M)
ok j’espère que j’ai bien compris l’esprit du topic pour que ma participation soit bien insérée
un exo que j’ai trouvé assez enrichissant est le simple énoncé :
montrer que si (a_i,j)i,j est orthogonale on a sigma sur i et j de a_i,j inférieur ou égale à n, étudier le cas de l’égalité.
Ce qui m’a plu sur cet exo c’est qu’il a deux solutions dont une première fait usage de la « terminologie » préhilbertienne avec un artifice plutôt inventif, la deuxième méthode est plus algèbre+analyse. Mais j’ai aimé voilà 
Neomath a écrit:
On sait tous que toute application linéaire u d’un espace vectoriel E de dimension finie vers un espace vectoriel normé (F,N) est continue.
Proposer au moins deux méthodes pour démonter cela
Quelle sont les applications bilinéaires uniformément continue? Justifier…
Ou l’on apprend à construire des normes grâce aux applications linéaires..
Ou l’on apprécie la force de la dimension finie et de l’équivalence des normes.
La première méthode est classique…
Vue que toutes les normes sont équivalentes, on travail avec la norme 1 sur E…et on fixe alors une base B (e1,…,en) de E puis on écrit les coordonnées d’un élément x de E dans cette base, puis on applique u:
x=\sum_{i=1} ^n {x_i e_i} \dots u(x)=\sum_{i=1} ^n {x_i u(e_i)}
donc N(u(x)) \leq \sum_{i=1} ^n {|x_i| N(u(e_i))} \leq max_{1 \leq i \leq n} (N(u(e_i))) \sum_{i=1} ^n {|x_i|}
le résultat en découle…
La seconde méthode, et c’est pour elle que j’ai posté cette question, utilise une petite idée fort simple:
On construit une norme grâce à la norme N de F et à l’application linéaire u, et ceux en posant:
(\forall x \in E)\ ||x||_{u} = N(u(x))+ ||(x)||_{E}
On vérifie qu’il s’agit bien d’une norme…puis on conclut grâce à l’équivalence des normes en dimension finie.
C’est pas jolie ça?
Pour allez plus loin..sachez que si u est injective et N une norme sur E,
||x||_{u}= N(u(x)) définie une norme sur E.
Pour la question concernant les applications bilinéaires uniformément continue..ben il n’en existe pas à part l’application nulle..en effet Soit B de ExF bilinéaire uniformément continue, soit (a,b) élément de ExF, on a pour n un entier naturel:
B((n+1)a,\frac{1}{n+1}b)-B((n+1)a,0)=B(a,b)
en faisant tendre n vers +oo et grâce à la caractérisation séquentielle de la continuité, on en déduit que B(a,b)= 0 CQFD
pikpik a écrit:
ok j’espère que j’ai bien compris l’esprit du topic pour que ma participation soit bien insérée
un exo que j’ai trouvé assez enrichissant est le simple énoncé :
montrer que si (a_i,j)i,j est orthogonale on a sigma sur i et j de a_i,j inférieur ou égale à n, étudier le cas de l’égalité.
Ce qui m’a plu sur cet exo c’est qu’il a deux solutions dont une première fait usage de la « terminologie » préhilbertion avec un artifice plutôt inventif, la deuxième méthode et plus algèbre+analyse. Mais j’ai aimé voilà 
Oui, oui le topic va dans ce sens..tu peux aussi nous proposer les idées des deux solutions pour en apprendre comme j’ai fait pour les deux premières participations
Merci
Neomath a écrit:
Caractérisez les matrices de Mn(C) qui s’écrivent sous forme d’exponentielle…
Qu’en est-ils pour les matrice de Mn(R)?
Ps: J’entends par matrice qui s’écrivent sous forme d’exponentielle, les matrices A tel qu’il existe une autre matrice M telle que A = exp(M)
Etant étudiant au Maroc, le manque de colles a probablement causé ce faible que j’ai en face d’une question ouverte comme celle ci… J’arrive pas toujours à m’y faire au question de « caractériser », cependant je pense toujours (puisque je manque d’option très souvent 
) à commencer par une restriction puis avancer dans le sens de montrer que tout autre catégorie de matrice ne peut vérifier la condition, par exemple là sans réfléchir je dirai quelque chose de liée à diagonalisable, mais je n’ai vraiment aucun flair pour se décider à avancer dans ce choix 
Ok le temps de prendre mon déjeuner , je verrai si je peux résumer au mieux et utile les deux solutions de ma suggestion
pikpik a écrit:
Etant étudiant au Maroc, le manque de colles a probablement causé ce faible que j’ai en face d’une question ouverte comme celle ci… J’arrive pas toujours à m’y faire au question de « caractériser », cependant je pense toujours (puisque je manque d’option très souvent ) à commencer par une restriction puis avancer dans le sens de montrer que tout autre catégorie de matrice ne peut vérifier la condition, par exemple là sans réfléchir je dirai quelque chose de liée à diagonalisable, mais je n’ai vraiment aucun flair pour se décider à avancer dans ce choix
Ok le temps de prendre mon déjeuner , je verrai si je peux résumer au mieux et utile les deux solutions de ma suggestion
On écrit pas sans réfléchir! On construit un raisonnement…
La théorie des excuses que tu nous lance ne sert pratiquement à rien…ce n’est pas les colles qui vont former ta cervelle…qui apparemment ne pense qu’à manger 
Ne te vexe pas j’étais comme toi un de ses jours
7 réponse sur 9 : c’est pas ce qu’on appelle du flood ça?
Bon anyway c’était pour me rafraichir de la pénible douleur des scandaleux résultats aux concours (mes résultats je veux dire…) Laughing
Retournant au boulot : j’arrive à caractériser pour C ces matrice par l’existence de T triangulaire et P inversible tq A=Pexp(T)P-1 , peut-être un résultat plus cernant ?
Sur R la trigonalisabilité n’étant plus gratuite, peut-être chercher un contre exemple…
D’abord je me demande pourquoi tu utilise toute cette phrase: les matrices tels qu’il existe T triangulaire et P inversible tel que A=Pexp(T)P^(-1) alors que ce ne sont autres que les matrices trigonalisables!
En plus c’est faut…les matrices de Mn(C) qui s’écrivent sous forme exponentielle sont les matrices inversibles…pour R c’est différent c’est inclue dans GLn(R) mais il est pas toute entier…allez…
Un grand classique (mais formateur). Résoudre
y'^2=y
Neomath a écrit:
On écrit pas sans réfléchir! On construit un raisonnement…
La théorie des excuses que tu nous lance ne sert pratiquement à rien…ce n’est pas les colles qui vont former ta cervelle…qui apparemment ne pense qu’à manger
Ne te vexe pas j’étais comme toi un de ses jours
Holà, si ça prend une tournure comme celle-là ça va se faire sans moi …
Neomath a écrit:
Caractérisez les matrices de Mn(C) qui s’écrivent sous forme d’exponentielle…
Qu’en est-ils pour les matrice de Mn(R)?
GL_n(\mathbb{C}) et un sous-ensemble de GL_n(\mathbb{R})^+ ?
Oui oui, les matrices de Mn(C) qui s’écrivent sous forme d’exponentielle sont les matrices inversibles… Pour Mn(R) se les matrices qui sont carré de matrice…Je détaillerai les idées de la preuve ce soir
Holà, si ça prend une tournure comme celle-là ça va se faire sans moi …
Je suis désolé je voulais juste le secouer un peu…en tout cas je m’en excuse pikpik, et THSQ on compte sur toi pour animer ce topic
Neomath a écrit:
Oui oui, les matrices de Mn(C) qui s’écrivent sous forme d’exponentielle sont les matrices inversibles pour Mn(R) se les matrices qui sont carré de matrice…Je détaillerai les idées de la preuve se soir
Holà, si ça prend une tournure comme celle-là ça va se faire sans moi …
Je suis désolé je voulais juste le secouer un peu…en tout cas je m’en excuse pikpik, et THSQ on compte sur toi pour animer ce topic
On va mettre cela sur le compte de l’enthousiasme
Pour GL_n(C) je sais le faire avec Dunford ou Jordan. Je demande s’il y a une soluce sans … :?
Pour GL_n(R) à ouais je vois le truc. C’est donc aussi les matrices inversibles sans aucune valeur propre réelle.
Tant qu’on y est (je connais pas la réponse mais ça doit être classique à mort) :
différentielle de X → exp(X)
ThSQ a écrit:
[quote=« Neomath »]
toute application linéaire u d’un espace vectoriel E de dimension finie vers un espace vectoriel normé (F,N) est continue.
Un résultat qui éclaire sur la nature du problème à mon avis :
Toute application linéaire de rang fini est continu
[/quote]
Je verrais bien une décomposition g0h
E—> E/ Kerf----> Im f
g est continue car E/ Kerf est isomorphe à Imf et c’est de la dimension finie pour Imf
et pour h peut être qu’en choisissant une bonne norme sur E/Kerf on a la continuité
Puis continuité par composition de 2 fonctions continues .
Je vais manger …
