Réglage de la précision d'un système asservi

Questions/Réponses par disciplines S.I.
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Bonjour à tous,

Je rencontre un problème dans un sujet de concours interne de l’Agrégation de Génie électrique (2020). Mais en fait c’est un problème très général sur les systèmes asservis. Je précise tout de suite que je ne suis pas sûr d’avoir posté ce message dans la bonne catégorie; si ce n’est pas le cas j’en suis désolé!
Etant donné que ce problème réclame quelques équations, j’ai expliqué et rédigé mon problème proprement dans le Fichier PDF: https://drive.google.com/file/d/1Y2FbWfaAxHbYM4F6YELLnHbedQM67-5B/view.
Je remercie très sincèrement par avance ceux qui auront le courage de lire mon document et de me fournir leur aide.

P. Charmoille

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Il me semble que dans ta deuxième méthode il y a une erreur sur ta formule en rouge :

KP=\sqrt{1-0.05^{2}}…

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J’ai pas regardé dans le détail donc je réponds peut-être à côté, mais à première vue :

—> On peut déjà regarder ce qui est écrit en dehors de tout contexte.

Dans la première méthode, tu cherches un machin tel que
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+machin}} = 0.95

Avec la seconde, tu dis que
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{machin}}} =1- 0.95

(i) On est d’accord que c’est pas du tout la même chose, et que si l’une est vraie, l’autre ne l’est pas ?
(ii) Accessoirement, il y a une coquille de calcul entre ton avant dernière ligne et la dernière, il faudrait mettre une racine sur (1-0.05²) et non ôter le carré sur le 0.05.
Je te laisse faire le calcul, mais je pense pas que changer un 0.95 en 0.99 améliore beaucoup la différence que tu trouves. Cela dit, ça reste une coquille.

—> Ensuite, quand tu parles de boucle réelle, tu enlèves toute dépendance fréquentielle.
Concrètement, l’approximation que tu fais peut se résumer très simplement : tu dis que si \displaystyle a+b = c [\tex], alors \displaystyle ||a||+||b ||= ||c|| .

Effectivement, si ce sont des réels, c’est vrai, sinon, ça ne l’est pas.
Il faut faire attention aux opérations qu’on fait lorsqu’on met une norme, des carrés, ou quoi que ce soit de non linéaire. Tu peux raisonner sur ton erreur epsilon, c’est tout à fait valide, mais la valeur à laquelle tu cherches à égaliser \frac{||\epsilon||}{||I_{cf}||} c’est pas 0.05, mais c’est plus compliqué que ça.

Un énoncé aurait très bien pu te demander de faire la seconde méthode en te donnant la valeur, mais ici on te demande de dimensionner sur I_f , donc sur la fonction de transfert complète.

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A mon humble avis :
C’est un filtre passe bas et tu veux déterminer K pour atteindre 95% de l’assymptote. La première méthode est la bonne.
En prenant Epsilon (\varepsilon) qui rentre sur un intégrateur, tu peux avoir une infinité de valeurs de epsilon qui te donne une valeur de sortie de l’intégrateur à 95% de l’assymptote. Tout dépend dont est initialisé la sortie de ton intégrateur.

Tu ne peux prendre Epsilon = 1 - 95% de l’assymptote pour calculer K

D’autre part en effectuant un calcul formel selon tes 2 méthodes, les K ne peuvent être égaux quelque soit le Tau (\tau) pris (différent de 1):
Première méthode
En posant \alpha=\frac{L.\omega}{H} alors T(\alpha)=-j.\frac{K}{\alpha} on a T_{BF}(\alpha)=\frac{K^{2}}{K^{2}+\alpha^{2}}\left( 1-j.\frac{K}{\alpha} \right)
En posant \tau=95\textbf{%} la valeur visée pour T_{BF} on peut isoler K et l’on a K=\alpha.\sqrt{\frac{\tau^{2}}{1-\tau^{2}}}

Deuxième méthode
Avec le même \alpha défini plus haut et en posant U_{BF}(p)=\frac{\varepsilon(p)}{I_{cf}(p)} alors U_{BF}(\alpha)=\frac{\alpha^{2}}{K^{2}+\alpha^{2}}\left( 1+j.\frac{K}{\alpha} \right)
Cette fois ci on vise 1-\tau pour U_{BF} et on a K=\alpha.\sqrt{\frac{1}{\left( 1-\tau \right)^{2}}-1}

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Ce que je racontais rejoint le calcul formel que propose H2Fooko (sauf qu’il le fait proprement)
tout vient du fait que le (1-r)² au dénominateur ne devient pas 1-r² (sinon les méthodes deviendraient équivalentes)

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Oui
Dès qu’il y a un intégrateur faut faire gaffe, pour les systèmes échantillonnés si S est la sortie de l’intégrateur et G son gain à un instant t on peut écrire : S(t) = G x Epsilon(t) + S(t-1)

PS:
En écrivant cette équation différemment :
\tau_{S}(t)=\frac{S(t)-S(t-1)}{S(t-1)}=\frac{G(K)}{S(t-1)}.\varepsilon(t)=\frac{\frac{K.H}{L}}{S(t-1)}.\varepsilon(t)

On voit que le taux d’accroissement relatif de S à gauche \tau_{S}(t) ne peut permettre d’en déduire un équivalent pour \varepsilon(t) sans connaitre S(t-1) (cad l’histoire de S)

Autrement écrit :
\left( \tau_{S}=\text{95%} \right)\nLeftrightarrow \left( \tau_{\varepsilon}=\text{5%}\right)
Comme dit Hibiscus

c’est plus compliqué que ça

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Bonjour à tous,
Merci beaucoup pour vos réponses!
Alors effectivement, il y avait bien une coquille de calcul mais le problème ne venait pas de là.
Mais j’ai bien compris le problème grâce aux réponses détaillées de Hibiscus et H2Fooko. Je n’avais pas fait attention à cette subtilité. Encore un grand merci à vous.
Philou