Bonjour,
Comment étudier la série de terme général ln(n)/n^a ; a dans ]0, l’infinie[ ? J’ai pensé majorée ln(n) par n^(1/2), ce qui me donne par la règle de Riemann que la série converge sur ]3/2,l’infinie[. Mais comment savoir si a dans ]0, 3/2] ?
Merci d’avance
Au hasard, ln(n) étant majoré par toute puissance strictement positive de n…
Vous avez le droit de taper si je dis des bêtises.
Hum… J’ai plus trop de réflexe sur les séries mais je vais essayer de te répondre.
ln(n) > 1 à partir d’un certain rang. Donc tu peux conclure pour a dans ]0,1] en divisant par n^a.
si a est dans ]1,+linfini[ avec un " petito " de 1/n^k avec k> 1 ça marche pas ?
Sinon pour ta culture il « faut » connaître les séries de Bertrand ! (cf google)
Bonjour,
Pour \displaystyle a\le 1, on peut conclure en minorant \displaystyle \ell n(n) par 1 pour \displaystyle n\ge3.
Pour \displaystyle a>1, regarde ce que donne une domination par \displaystyle \frac{1}{n^{\frac{a-1}{2}}}, l’idée étant que \displaystyle \frac{a-1}{2} se glisse entre 1 et a, et on peut conclure.
On utilise souvent la même idée pour les dominations en l’infini, en dominant \displaystyle \ell n(n)^{\alpha}\times n^{\beta}\times\exp(-t) par \displaystyle \exp\left(-\frac{t}{2}\right).
Cela revient à démonter les résultats sur les séries de Bertrand (résultats HP en PC)
La série \displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \frac{1}{n^{\alpha}(\ln n)^{\beta}} converge si et seulement si \alpha > 1 ou (\alpha =1 et \beta >1).
C’est hors programme en MP aussi mais toujours bon à connaître et à savoir démontrer.
OK Merci beaucoup