Quelques réflexions :
(1) Ton prof ne t’a pas demandé tous les cas. Il s’attend probablement à ce que
tu lui donnes l’exemple de deux fonctions périodiques dont la somme n’est pas périodique
(2) Qu’est-ce que « la » période de f ? Ceci n’a de sens que si l’ensemble des périodes strictement positive a un plus petit élément (dans ce cas toutes les périodes de f sont bien des multiples de celle-ci, cf. structure des sous-groupes additifs de \mathbb{R}).
Pour qu’un tel plus petit élément existe, il suffit que f soit continue non constante.
(3) Pour des fonctions continues, ta condition est effectivement la bonne, mais cela ne me semble pas abordable au niveau sup (ni au niveau spé sans une solide culture).
A partir de là, il vaut mieux que tu ne lises pas. En revanche cela peut-être intéressant pour les élèves de spé.
Voici une preuve en utilisant l’artillerie lourde.
On suppose que f et g sont continues non constantes respectivement T_1 et T_2 périodiques et que f+g est continue T-périodique. Si l’un des rapports T/T_1 ou T/T_2 est rationnel, alors il est facile de prouver que T_1/T_2 est rationnel.
On suppose dans la suite que T/T_1 et T/T_2 sont
irrationnels.
Soit x \in \mathbb{R}.
Parce que T/T_1 est irrationnel et f continue, la suite n \mapsto \frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}f(x+kT)
converge vers \frac{1}{T_1}\int_0^{T_1} f(t)dt
(théorème d’équirépartition de Weyl).
Parce que T/T_2 est irrationnel et g continue, la suite n \mapsto \frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}g(x+kT)
converge vers \frac{1}{T_2}\int_0^{T_2} g(t)dt.
Or la suite n \mapsto \frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}(f+g)(x+kT)
est constante de valeur (f+g)(x)
On en déduit que f+g est constante, une contradiction.
(4) Si on oublie de supposer les fonctions continues, on peut construire un contre-exemple en admettant l’axiome du choix.
Pour cela, on choisit trois réels \alpha, \beta et \gamma formant une famille \mathbb{Q}-libre (par exemple \alpha=1, \beta=\sqrt[3]{2} et \gamma=\beta^2).
L’ensemble \mathbb{R} est maintenant considéré avec sa structure de \mathbb{Q}-espace vectoriel. On pose E:=\alpha\mathbb{Q} \oplus \beta\mathbb{Q} \oplus \gamma\mathbb{Q}, et on en choisit un supplémentaire F dans \mathbb{R}.
Pour (r_1,r_2,r_3)\in \mathbb{Q}^3 et x \in F,
on pose f(\alpha r_1+\beta r_2+\gamma r_3+x)=\beta r_2+\gamma r_3+x et g(\alpha r_1+\beta r_2+\gamma r_3+x)=\alpha r_1-\gamma r_3+x. On a ainsi deux fonctions f et g de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.
Les applications f, g et f+g sont \mathbb{Q}-linéaires et ont donc chacune leur noyau pour ensemble de périodes, c’est à dire respectivement \alpha \mathbb{Q}, \beta \mathbb{Q} et \gamma\mathbb{Q}.
Conclusion : f,g et f+g sont périodiques sans que f et g n’aient de période commune.
Enfin, si on tient absolument à avoir des fonctions admettant une plus petite période positive, on peut modifier la définition de f et g de la manière suivante :
Pour (r_1,r_2,r_3)\in \mathbb{Q}^3 et x \in F,
on pose f(\alpha r_1+\beta r_2+\gamma r_3+x)=\alpha \{r_1\}+\beta E(r_2)+\gamma r_3+x et g(\alpha r_1+\beta r_2+\gamma r_3+x)=\alpha E(r_1)+\beta \{r_2\}-\gamma E(r_3)+x, où \{r\} désigne la partie fractionnaire du rationnel r (i.e. r-E(r)).
Comme cela, f, g et f+g ont respectivement pour ensembles de périodes \alpha\mathbb{Z}, \beta\mathbb{Z} et \gamma\mathbb{Z}.
