Salut,
a l’instar de 2 sous espace vectoriel peut on définir la somme de 2 sous groupes ? (dans un groupe muni d’une loi additive)
merci et bonne soirée
Toutafé.
Et même les notions de sommes directes, supplémentaires, etc.
Le problème est que certaines propriétés des espaces vectoriels ne se généralisent pas, mais alors pas du tout.
Pour bien faire on formalise cela dans la théorie des modules, qui sont en fait comme les espaces vectoriels mais avec un anneau plutôt qu’un corps. On perd alors tous les théorèmes relatifs à la théorie de la dimension.
ok donc en théorie cé possible mais ca sert pas a grand chose si je comprends bien
merci 
Si, c’est super-utile!
Seulement on doit ajouter des conditions pour que tout se passe bien. Les théorèmes existent mais sont plus lourds à énoncer.
zpierrot a écrit:
ok donc en théorie cé possible mais ca sert pas a grand chose si je comprends bien
C’est rigolo cette remarque : est-ce que ta réaction vient de ce qu’écrit Mû concernant la perte des résultats liés à la dimension ??
Note au passage que ce n’est pas un reproche, c’est plutôt une (nième) interrogation sur la façon dont on enseigne les maths (et la physique aussi du reste), en exposant des théories sans jamais dire qu’il y a autre chose derrière, que les concepts qu’on donne, pour important qu’ils soient, ne sont pas uniques, etc. Mais bon, tant pis, on révolutionnera l’enseignement demain. C’est trop tard pour aujourd’hui.
Par contre :
zpierrot a écrit:
a l’instar de 2 sous espace vectoriel peut on définir la somme de 2 sous groupes ? (dans un groupe muni d’une loi additive)
Pourquoi cette précision sur la nature « additive » de la loi ? Qu’est-ce que ça changerait pour une loi « multiplicative » ?
bourricot a écrit:
C’est rigolo cette remarque : est-ce que ta réaction vient de ce qu’écrit Mû concernant la perte des résultats liés à la dimension ??
Note au passage que ce n’est pas un reproche, c’est plutôt une (nième) interrogation sur la façon dont on enseigne les maths (et la physique aussi du reste), en exposant des théories sans jamais dire qu’il y a autre chose derrière, que les concepts qu’on donne, pour important qu’ils soient, ne sont pas uniques, etc. Mais bon, tant pis, on révolutionnera l’enseignement demain. C’est trop tard pour aujourd’hui
On fait ce qu’on peut avec ce qu’on a
bourricot a écrit:
Par contre :[quote=« zpierrot »]
a l’instar de 2 sous espace vectoriel peut on définir la somme de 2 sous groupes ? (dans un groupe muni d’une loi additive)
Pourquoi cette précision sur la nature « additive » de la loi ? Qu’est-ce que ça changerait pour une loi « multiplicative » ?
[/quote]
Traditionnellement la notation additive est réservée aux groupes commutatifs; j’ai compris le message dans le sens où on ne parlait que de tels groupes.
Mû a écrit:
On fait ce qu’on peut avec ce qu’on a
Et bien entendu ça n’était pas non plus un reproche aux enseignants (loin de moi ! Mais je crois que c’est clair ). C’est surtout une mauvaise habitude, non une mauvaise volonté, et les programmes y sont certainement pour beaucoup…
Effacé.
Christophe Bertault a écrit:
Comme Mû l’a indiqué, les groupes dont on note additivement la loi sont par convention commutatifs, sauf mention explicite du contraire.
Aurais-tu un exemple de groupe non commutatif « classique » dont la loi est notée additivement?
Christophe Bertault a écrit:
Bourricot, permets-moi d’anticiper une éventuelle erreur de ta part (avec toutes mes excuses si j’ai tort de t’attribuer cette erreur) : la somme de deux sous-groupes d’un groupe QUELCONQUE (dont la loi sera donc généralement notée multiplicativement) n’est pas un sous-groupe en général, si l’on entend par « somme de H et K » l’ensemble des éléments de la forme hk. Il est facile de s’en convaincre : si on multiplie hk par h’*k’, cela n’a aucune raison de nous donner un élément du groupe de la forme h’‹ *k ›'.
Il n’y a pas de problème : j’avais prévu, justement, de ne pas tomber dans ce piège 
. J’ai été surpris de voir rapprocher « somme de deux sev » et la notation additive pour le groupe. Le vocabulaire (somme de sev) est très bien dans les ev, et coïncide même avec ce qui se passe dans la pratique : la somme de F et G est l’ensemble des f+g où f est dans F et g dans G, mais effectivement, pour les groupes, il n’en va pas de même. C’est pour cela que j’essaie de garder dans ma tête la définition « plus générale » de somme = structure engendrée par la réunion…
NB : Pour l’exemple des groupes dont il est question, on montre (facilement) que HK est un sous-groupe si et seulement si HK=KH. Et on peut raffiner autour de tout cela : il suffit que l’un des deux soit distingué pour que le produit soit un groupe, et si les deux le sont (distingués), alors le produit l’est aussi, etc.
Effacé.
[En aparté des jeunes oreilles]
Christophe Bertault a écrit:
Tu vas déboussoler nos taupins si tu parles sur ce forum de sous-groupes distingués !
Ca n’est pas le but, c’est entendu, mais je veux surtout revenir à mon premier « message » : bien expliquer que les notions qu’on définit à un certain niveau d’enseignement (après le bac surtout, mais un peu avant aussi…) dans des cas particuliers (qui forment les programmes) ne sont généralement que des « particularisations » de notions bien plus générales et profondes. Certes, la particularisation est utile, surtout pour la pratique, et NiN dans un autre topic insistait dessus. Mais je crois que c’est préparer les élèves à une certaine incompréhension (plus ou moins passagère et marquée) quand ils rencontreront les théories générales un peu plus tard, parce que ça ne correspondra pas à leurs représentations du monde des mathématiques.
Bien entendu, je ne parle pas des quelques élèves (bien heureux) qui intégreront dans les 5 premiers Ulm ou Polytechnique… Je pense surtout aux élèves moyens (comme je l’étais et je le suis encore, j’ai juste mûri un peu 
), et je parle en connaissance de cause : qu’est-ce que c’est que ces histoires de topologie métrique ou générale, moi je ne connais que les evn ? Et cette théorie de l’intégration : c’est simple l’intégration, y’a qu’à chercher la primitive des fonctions continues, etc. !
Ce n’est pas la révolte violente et sanglante envers les programmes que je prône (quoique 
), plutôt la révolution douce : de temps en temps dire aux élèves que ce que l’on voit, ce n’est qu’un cas particulier, qu’on peut généraliser, qu’en fait on a fait trois fois la même chose avec trois notions distinctes qu’on pourrait unifier, etc. Je ne sais pas si ça a été fait quand j’étais en prépa, mais si c’est le cas, ça n’a pas été fait suffisamment…
Au passage, je crois qu’un problème similaire se pose en physique, et probablement dans toutes les autres matières, y compris les « lettres et sciences humaines ».
Bref, tout cela pour dire que je ne manque pas une occasion d’intervenir pour essayer d’aller dans ce sens. Si cela conduit rien qu’un élève à être un peu plus sur ses gardes et lui permet de mieux faire la transition avec les années suivantes, j’en serais très heureux. A condition, bien sûr, que ça n’en enfonce pas trois autres du même coup .
[Fin de l’aparté]
bourricot a écrit:
de temps en temps dire aux élèves que ce que l’on voit, ce n’est qu’un cas particulier, qu’on peut généraliser, qu’en fait on a fait trois fois la même chose avec trois notions distinctes qu’on pourrait unifier, etc.
Je pense quand même que pas mal de profs le font.. en tout cas c’est ce qu’il me semble.
Au contraire, l’étude de cas particuliers en début de formation permet d’avoir un peu de recul et de culture générale pour aborder sereinement les généralisations!
Aujourd’hui on entre (et sort) sans problème en prépa avec un niveau de mention assez bien de justesse, il faut bien s’adapter au public.
Ca se fait déjà un peu en sup: on fait la géométrie en début d’année puis quand on fait l’algèbre on revoit le produit vectoriel, les déterminants…
Idem avec Cauchy-Schwarz, énoncé dans quelques cas particuliers en cours d’année et formalisé dans le chapitre dans les edspaces euclidiens.
raorg a écrit:
[quote=« bourricot »]
de temps en temps dire aux élèves que ce que l’on voit, ce n’est qu’un cas particulier, qu’on peut généraliser, qu’en fait on a fait trois fois la même chose avec trois notions distinctes qu’on pourrait unifier, etc.
Je pense quand même que pas mal de profs le font.. en tout cas c’est ce qu’il me semble.
[/quote]
Eh bien c’est une bonne chose ! Et si tu comprends bien ces messages, tu es sur la bonne voie. Mais est-ce le cas de tout le monde dans ta classe et dans d’autres classes où l’on approfondit peut-être moins ?
Mû a écrit:
Au contraire, l’étude de cas particuliers en début de formation permet d’avoir un peu de recul et de culture générale pour aborder sereinement les généralisations!
Tout à fait, et aborder la théorie globale après la terminale n’est pas envisageable pour plus de 99% des élèves je pense. Mais ça n’empêche pas de préparer le terrain pour plus tard. Il s’agit juste de dire que ce que l’on voit n’est qu’une petite partie, et pas la généralité. Ca peut commencer en TS (cf. un topic avec un exercice de calcul de limite) : toutes les fonctions ne sont pas continues, ni dérivables, toutes les fonctions ne sont pas « explicites », et que sais-je encore. Sans que ça devienne un leitmotiv !
Je ne suis pas sûr que ce soit pourtant une pratique très répandu (que ça se fasse dans certains coins, je n’en doute pas). Maintenant, si je me trompe complètement, c’est tant pis pour moi et tant mieux pour les élèves. J’espère même secrètement que c’est le cas …
Mû a écrit:
Ca se fait déjà un peu en sup: on fait la géométrie en début d’année puis quand on fait l’algèbre on revoit le produit vectoriel, les déterminants…
Idem avec Cauchy-Schwarz, énoncé dans quelques cas particuliers en cours d’année et formalisé dans le chapitre dans les edspaces euclidiens.
Bien sûr, mais ne peut-on pas aller un peu plus loin dans la « prévention » ? (C’est réellement une question !) Je ne t’apprendrai pas que les espaces euclidiens sont les espaces muni d’une forme bilinéaire sympa. Que se passe-t-il quand la forme est moins sympa ? On fait des cours entier de niveau M2 là-dessus. Je ne demanderais pas qu’on les transpose en sup (et je serais inquiet si un prof de prépa le faisait, surtout si mes enfants étaient dans sa classe !!), mais peut-être est-il possible d’expliquer en quelques mots à l’oral, sans notes au tableau - ce n’est pas du cours !- qu’on peut généraliser ces notions. Sans entrer dans les détails techniques (surtout pas !), ça ne me semble pas choquant d’en parler. Eventuellement aux seuls élèves intéressés 5 minutes en fin de cours… ?
Et j’ai laissé l’exemple de la géométrie : mais quelle géométrie ? Sans compter que la façon d’aborder la géométrie est franchement différente par la suite (action de groupes, etc.).
Voilà qui est certainement bien plus facile à écrire qu’à faire. Je reste au niveau théorique et je n’ai pas l’occasion de m’essayer à la chose (peut-être un jour…). Pour autant ça ne me semble pas « utopique ». Mais ce n’est en rien une critique envers les enseignants : peut-être ai-je reçu le message sans savoir l’intégrer…
Il faut bien comprendre qu’en sup on part complètement de zéro au niveau maths, il s’agit d’apprendre les rudiments du raisonnement et de l’abstraction aux élèves. La simple notion de condition nécessaire/suffisante est déjà difficile à digérer pour un bon nombre alors les mathématiques bourbakistes attendront 
En fait, c’est complètement utopique.
Effacé.
Mû a écrit:
La simple notion de condition nécessaire/suffisante est déjà difficile à digérer pour un bon nombre alors les mathématiques bourbakistes attendront
Il y a tout de même un fossé entre Bourbaki et ce que fait n’importe quel étudiant même (surtout ?) en master, fût-ce à l’ENS je présume. Dire simplement qu’ « il existe » des géométries différentes de celles qu’on fréquente depuis le lycée, c’est déjà énorme. « Eh oui, cher(e)s élèves, on peut faire de la géométrie sur la sphère. Maintenant, essayez vous-même d’imaginer ce que l’axiome des droites parallèles peut donner dans ce cas… » (dans sa tête : « hé ! hé ! La plupart n’iront pas plus loin, mais certains vont chercher à creuser, c’est aussi le but : susciter la curiosité… »).
C’est énome car c’est une ouverture vers quelque chose de différent que ce que l’on connaît déjà. Finalement, pour faire (même un parallèle un peu vague), ça n’est rien d’autre que de dire à de jeunes enfants qu’il existe d’autres pays peuplés de gens avec leurs propres habitudes, leurs propres coutumes, etc.
Où se cache Bourbaki derrière tout cela ?
bourricot a écrit:
Ca peut commencer en TS (cf. un topic avec un exercice de calcul de limite) : toutes les fonctions ne sont pas continues, ni dérivables, toutes les fonctions ne sont pas « explicites », et que sais-je encore. Sans que ça devienne un leitmotiv !
Je suis en TS, et je suis bien d’accord : cela pourrait aider à ne pas faire de nombreuses erreurs de raisonnement (croire qu’une fonction dérivable a forcément une dérivée continue, et que celle-ci est elle même dérivable, par exemple) : l’introduction de quelques exemples permettrait au moins de savoir que ce que l’on voit est très limité.
D’autre part, notamment en physique, on nous dit « pour l’instant », vous verrez plus tard qu’en fait ce n’est pas ainsi… puis chaque année, on corrige des approximations et on complète. Un exemple : les lois de Newton : pourquoi ne voir en première qu’une version limitée, car ne donnant pas la norme du vecteur accélération, puis de la compléter en terminale?
De simples mentions provoquent notre intérêt, et ensuite des interrogations, cela est donc bénéfique, même si tous les élèves n’en profitent pas.