Tu veux dire qu’il me suffit d’avoir deux intégrales, une avec du sinus et l’autre avec du cosinus pour conclure ?
Je ne vois pas bien quelles intégrales de ce genre je peux faire apparaître.
Merci encore Guigui pour ton aide.
Bob
Voilà ce à quoi j’aboutis :
$\int_{0}^{\pi} (\frac{-t}{2} + \frac{t^2}{4 \pi})((\frac{sin(nt)}{tan(\frac{t}{2})})+cos(nt))dt = \int_{0}^{\pi} (\frac{(\frac{-t}{2} + \frac{t^2}{4\pi})}{tan(\frac{t}{2})}) (sin(nt))dt$$+ \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} (-t + \frac{t^2}{2 \pi})(cos(nt))dt$
On peut couper l’intégrale en 2 car les 2 convergent.
Montre que chacune d’elle tend vers 0 (par exemple, par une intégration par parties !)
Celle de droite a déja été calculée, et vaut \frac{1}{2n^2}.
Je m’attaque à celle de gauche,
Merci guigui.
Bon, j’arrive vraiment pas à me sortir de cette intégrale…
i) Montre que la fonction \displaystyle f: t\mapsto \left(\frac{t^2}{4\pi}-\frac{t}{2}\right)\frac{1}{\tan\left(\frac{t}{2}\right)} est de classe \displaystyle \mathcal{C}^1 sur le segment \displaystyle [0,\pi].
ii) Par une intégration par parties judicieuse, montre que \displaystyle\int_0^{\pi}f(t)\sin(nt)\mathrm{d}t\longrightarrow_{n\to+\infty}0
(ça ressemble au lemme de Lebesgue, avec des hypothèses plus fortes).
Sauf erreur