Bonjour à tous, (premier message sur ce forum 
)
Je précise d’abord que je suis en sup, je ne dispose donc pas des moyens de spé pour résoudre ce problème : \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}
Donc voici mon problème :
1ère étape : On montre que \int_{0}^{\pi} (-t + \frac{t^2}{2 \pi}) cos(nt) dt = \frac{1}{n^2} (c’est du calcul, pas bien compliqué)
2ème étape : On en déduit que \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \int_{0}^{\pi} (-t + \frac{t^2}{2\pi}) \sum_{k=1}^n cos(kt) dt
3ème étape : On montre que \forall t \in ]0,\pi[ , \sum_{k=1}^n cos(kt) = \frac{1}{2} (\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} - 1)
Là encore, c’est du calcul, et c’est pas tellement le problème ici.
Seulement, si je remplace cette expression dans mon intégrale précédente (c’est ce que j’ai fait au début avant de voir l’erreur), je me retrouve avec \frac{\pi^2}{6} auquel s’ajoutent deux intégrales en f(t) cos(nt) et g(t) sin(nt) qui tendent vers 0 quand n tend vers l’infini (pas dur à montrer).
Bon ben là c’est gagné, sauf que je réalise que mon expression de \sum_{k=1}^n cos(kt) n’est pas valable en 0 et Pi ! Ce qui me donne une division par zéro, donc mon intégrale n’est pas définie ! (pas dans mon cours de sup en tout cas !!!)
Cependant le résultat est correct, je me dis qu’il doit pas y avoir grand chose à modifier…
Je me permet donc de solliciter votre aide 
Bonne journée !
PS: le latex c’est lourd ^^
max.trb a écrit:
Je précise d’abord que je suis en sup, je ne dispose donc pas des moyens de spé pour résoudre ce problème : \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}
Pourtant, ça y ressemble bien.
Eti-N a écrit:
Pourtant, ça y ressemble bien.
Ben non : il n’utilise que des moyens calculatoires de sup pour arriver à ses fins, là (aucune interversion de somme et d’intégrale à justifier).
D’autre part, il y a vraiment mille méthodes pour montrer ça (ici par exemple, et il ne reste plus à en dénombrer que 986… 
Ragoudvo a écrit:
Ben non : il n’utilise que des moyens calculatoires de sup pour arriver à ses fins, là (aucune interversion de somme et d’intégrale à justifier).
Des intégrales avec t \mapsto \cos(nt) et t \mapsto \sin(nt), ça n’est pas tout à fait innocent. 
D’autre part, il y a vraiment mille méthodes pour montrer ça (ici par exemple, et il ne reste plus à en dénombrer que 986…
Oui, oui, je connais déjà ce pdf.
Lol moi j’aurais dit le que le moyen le plus facile pour démontrer cela c’est de passer par les série de fouriers ^^ On obtient directement le résultat sans aucune inversion ni quoi que se soit !
Bon, merci à tous (particulièrement à Philippe PATTE) pour vos réponses rapides !
Problème résolu 
Ediwen a écrit:
Lol moi j’aurais dit le que le moyen le plus facile pour démontrer cela c’est de passer par les série de fouriers ^^ On obtient directement le résultat sans aucune inversion ni quoi que se soit !
Oui, modulo le cours sur les séries de Fourier !
Pour information, on peut présenter ces calculs effectivement issus des séries de Fourier **avec les moyens de Terminale. **
En effet, dans le livre « Mathématiques Terminales C et E », chez Hachette, 1987 par Gauthier Royer Thiercé on trouve l’exercice numéro 133 page 247 qui dans son III fait ce calcul. J’avais noté sur mon livre (j’ai fait mon bac en 90) que c’était issu d’un sujet de bac !
Sinon puisqu’il y a des savants sur ce forum, pour information on dispose de formules générales pour les sommes de Riemann d’exposants pair en fonction des nombres de Bernoulli. Et ceci est (de mémoire) lié à la formule sommatoire d’Euler Mac Laurin, un moyen astucieux de comparer une série et une intégrale
Des intégrales avec t \mapsto \cos(nt) et t \mapsto \sin(nt), ça n’est pas tout à fait innocent.
moi j’ai eu à le calculer au premier mois de sup!On peut s’en sortir avec les complexes assez facilement…
La méthode qui m’a été proposée n’utilise pas vraiment de concept nouveau en sup… Les intégrales c’est de l’IPP, la somme utilise des notions de complexes de base, et ensuite c’est du calcul de limite, donc tout est faisable en terminale.. (quoique les calculs sont pas toujours faciles)
max.trb a écrit:
La méthode qui m’a été proposée n’utilise pas vraiment de concept nouveau en sup… Les intégrales c’est de l’IPP, la somme utilise des notions de complexes de base, et ensuite c’est du calcul de limite, donc tout est faisable en terminale.. (quoique les calculs sont pas toujours faciles)
Dire qu’au dernier DS de maths, c’était ça. Bien guidé, et tout. Et c’est un sujet des petites mines …
Bonjour, j’ai essayé de faire cet exercice mais je ne parviens pas à :
[1] \forall t \in ]0,\pi[ , \sum_{k=1}^n cos(kt) = \frac{1}{2} (\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} - 1)
Mais en réalité à :
[2] \forall t \in ]0,\pi[ , \sum_{k=1}^n cos(kt) = \frac{1}{2} (\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} - 1)-1
J’aboutirai à [1] si je sommais de 0 à n.
Quelqu’un peut-il m’éclairer ?
Merci d’avance,
Bob
Bonjour,
Désolé Bob mais tu t’es trompé, d’où viennent tes deux « -1 » ?
\forall t \in ]0,\pi[ , \sum_{k=0}^n cos(kt) = {cos((\frac{n}{2})t)}(\frac{sin((\frac{n+1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} )
Donc,
\forall t \in ]0,\pi[ , \sum_{k=1}^n cos(kt) = \sum_{k=0}^n cos(kt) - 1
= {cos((\frac{n}{2})t)}(\frac{sin((\frac{n+1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} ) - 1
= \frac{1}{2} (\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)+sin(\frac{-t}{2})}{sin(\frac{t}{2})}) - 1
= \frac{1}{2} (\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} - 1) -1
Ouf j’ai dû vérifier chaque ligne ^^
L’erreur vient de la formule de trigo sin(a)cos(b) ; c’est pas « +sin(-t/2) » mais « +sin(t/2) ».
Merci beaucoup, en effet, j’ai appliqué bêtement sin(a)cos(b), alors qu’ici, c’était cos(a)sin(b) qu’il fallait appliqué, ou bien il fallait simplement que je réfléchisse 3 minutes à qui était a et qui était b.
\forall (a,b) \in R^2 ,
({sin(a)})({cos(b)} ) = \frac{1}{2}(({sin(a+b)})+({sin(a-b)} ))
({cos(a)})({sin(b)} ) = \frac{1}{2}(({sin(a+b)})+({sin(b-a)} ))
J’aurais donc bien dû en déduire :
({cos((\frac{n}{2}))t})({sin((\frac{n+1}{2})t)} ) = \frac{1}{2}(({sin((n+\frac{1}{2})t)})+({sin(\frac{t}{2})} )
Merci encore Guigui.
Bob
Pardon de redemander encore des précisions, mais au bout du problème, je me retrouve avec :
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}
= \int_{0}^{\pi} (-t + \frac{t^2}{2 \pi})(\frac{1}{2} (\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} - 1))dt
= \int_{0}^{\pi} (\frac{t}{2} - \frac{t^2}{4 \pi})dt + \int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}(-t + \frac{t^2}{2 \pi})(\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})})dt
= \frac{\pi^2}{6} + ???
J’ai essayé plusieurs intégrations par parties, mais je ne vois pas comment aboutir au calcul de \int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}(-t + \frac{t^2}{2 \pi})(\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})})dt
Si quelqu’un veut bien m’épauler,
Merci d’avance.
Bob
On n’a pas besoin de calculer explicitement l’intégrale
Sers-toi du lemme démontré plus haut :
Seulement, si je remplace cette expression dans mon intégrale précédente (c’est ce que j’ai fait au début avant de voir l’erreur), je me retrouve avec \frac{\pi^2}{6} auquel s’ajoutent deux intégrales en f(t) cos(nt) et g(t) sin(nt) qui tendent vers 0 quand n tend vers l’infini (pas dur à montrer).
(ou si tu ne l’as pas montré, fais-le 
)