bonjour tout l monde . d’apres bolzano ,on sait que cos(n) admet une suite extraite convergente ( car cos est bornée 
) . esque quelq’un connait une ou de sous suite qui converge vers de limite differente de l’intervalle [-1,1] . parce que sa serait efficace pour monter que cos(n) diverge en 2 ligne au lieu 20 ligne par des methodes un peu compliquées .
Si l’on note (f(n))_{n\in\mathbb{N}} une suite extraite de la suite (n)_{n\in\mathbb{N}}, on a nécessairement :
-1 \leqslant \cos(f(n)) \leqslant 1
Passe à la limite dans le cas d’une suite extraite convergente, et tu auras la réponse à ta question.
Tu peux aussi montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérences de (cos(n))_{n \in \mathbb{N}} est [-1,1], mais ça prend plus de 20 lignes.
cos( n+1) = cos(n) cos(1) - sin(n)sin(1)
cos(n-1) = cos(n) cos(1)+ sin(n)sin(1)
on fait la somme et on passe à la limite , on a donc :
2l = 2 l cos(1) ; d’où si l existe l=0
enfin cos(2n) = 2 cos^2 (n) -1 ; on passe à la limite:
soit l= 2 l^2 -1
0=-1 contradiction , donc la limite n’existe pas .
soit 7 lignes …
Pour tout n on a cos(E(2n pi)) >= cos(1).
Pour tout n on a cos(E((2n+1) pi) <= -cos(1).
Donc cos(n) ne peut pas converger.
3 lignes (et encore j’écris gros)
Laotseu a écrit:
Pour tout n on a cos(E(2n pi)) >= cos(1).
Pour tout n on a cos(E((2n+1) pi) <= -cos(1).
Donc cos(n) ne peut pas converger.3 lignes (et encore j’écris gros)
C’est bien de condenser une démonstration, l’idéal, c’est que la démonstration condensée ait un sens, et je doute fort que ce soit le cas de la tienne…
(Ou bien il va falloir que tu explicites tout ça, et tu dépasseras allègrement les 7 lignes de Madec, qui elles sont justes et claires, mais sans LaTeX.)
En fait, je n’aime pas trop la démonstration de Madec, qui est tout à fait exacte mais repose sur une suite de formules algébriques. En bref, c’est de l’algèbre pour démontrer un résultat d’analyse.
Si e^in (et par suite cos(n)) ne converge pas, c’est parce que l’argument de l’exponentielle fait un tour du cercle trigonométrique en 6 ou 7 pas, et ne peut pas converger modulo 2pi. J’exploite donc cette propriété :
Aux instants E(2n pi), l’argument du cosinus est suffisamment proche de 2n pi (à 1 près) pour que cos(E(2n pi)) >= cos(1) (car ce cosinus est aussi celui de cos(E(2n pi)-2n pi) et son argument est dans [-1,0]).
De même, aux instants E((2n+1)pi), on aura cos( ) <= -cos(1).
Si on avait cos(n) qui tend vers l, alors on aurait à la fois l>= cos(1) et l<= -cos(1), ce qui est exactement l’idée initiale. Au passage, une preuve totalement similaire prouve la divergence de sin(n).
C’est à mon avis la démonstration la plus simple, au-delà il faut s’intéresser à la suite n mod 2pi pour montrer que tous les réels de [-1,1] sont valeurs d’adhérence de la suite, mais c’est un résultat trop fort.
à Laotseu…
Le théorème fondamental de l’agèbre: qui dit que tout polynôme sur C est scindé…
se démontre avec l’analyse (je ne connais aucune démonstration 100% ALGEBRIQUE )
On peut aussi le voir comme « but » de la construction de \mathbb{C}, construction qui est algebriste.
Laotseu a écrit:
En fait, je n’aime pas trop la démonstration de Madec, qui est tout à fait exacte mais repose sur une suite de formules algébriques. En bref, c’est de l’algèbre pour démontrer un résultat d’analyse.
Si e^in (et par suite cos(n)) ne converge pas, c’est parce que l’argument de l’exponentielle fait un tour du cercle trigonométrique en 6 ou 7 pas, et ne peut pas converger modulo 2pi. J’exploite donc cette propriété :
Aux instants E(2n pi), l’argument du cosinus est suffisamment proche de 2n pi (à 1 près) pour que cos(E(2n pi)) >= cos(1) (car ce cosinus est aussi celui de cos(E(2n pi)-2n pi) et son argument est dans [-1,0]).
De même, aux instants E((2n+1)pi), on aura cos( ) <= -cos(1).
Si on avait cos(n) qui tend vers l, alors on aurait à la fois l>= cos(1) et l<= -cos(1), ce qui est exactement l’idée initiale. Au passage, une preuve totalement similaire prouve la divergence de sin(n).C’est à mon avis la démonstration la plus simple, au-delà il faut s’intéresser à la suite n mod 2pi pour montrer que tous les réels de [-1,1] sont valeurs d’adhérence de la suite, mais c’est un résultat trop fort.
Tiens, ça fait beaucoup plus de trois lignes d’un coup, et excuse-moi, mais c’est bordélique, sur une copie, ça ferait assez brouillon.
Je pense que celle de Madec est la plus simple.
Moi je trouve que tu sabres un peu vite la démonstration de Lao-Tseu, qui est intéressante.
Laotseu a écrit:
En fait, je n’aime pas trop la démonstration de Madec, qui est tout à fait exacte mais repose sur une suite de formules algébriques. En bref, c’est de l’algèbre pour démontrer un résultat d’analyse.
Les formules de trigo de l’algèbre ??? Pouah, c’est pas de l’algèbre ça ! 
Cela dit, je suis d’accord avec la démonstration de Laotseu. Parce qu’au delà de détails cosmétiques comme le nombre de lignes, c’est ça la bonne démonstration. Bonne au sens qui vient naturellement, où on voit ce qui se passe ! Celle de Madec est jolie, mais astucieuse, c’est à dire pas naturelle, et qui n’apprend pas grand chose à mon avis niveau raisonnement. 
Ce qui rend les Maths « excitantes » , c’est d’avoir plusieurs « approches » pour une même question ( j’aime bien aussi celle de Lao Tseu ).
Mais finalement on n’a pas répondu à la question initiale , exhiber deux sous suites qui convergent vers deux limites différentes , qui est aussi une approche naturelle pour montrer que la suite ne converge pas .
Madec a écrit:
Mais finalement on n’a pas répondu à la question initiale , exhiber deux sous suites qui convergent vers deux limites différentes , qui est aussi une approche naturelle pour montrer que la suite ne converge pas .
Je ne vois pas de méthode plus simple que de passer par la densité de \mathbb Z + 2\pi\mathbb Z…
La démo de Laotseu est peut-être vraie, mais sans plus d’explications, elle est inacceptable d’un point de vue rigoureux. (et je suis d’accord, le nombre de lignes, on s’en fout)
Après, c’est vrai, plusieurs approches c’est bien.
Concernant la question de départ, je ne sais pas si on peut en exhiber facilement, mais à l’aide d’un exercice, relativement long, on peut montrer que l’ensemble des VA de (cos(n))_{n \in \mathbb{N}} est [-1,1].
1°) Soit \Lambda un sous-groupe additif de \mathbb{R}, montrer alors qu’il respecte l’une des deux propriétés suivantes :
- \exists c > 0 , \Lambda = c.\mathbb{Z}
- \Lambda est dense dans \mathbb{R}
2°) Soit \Lambda un sous-groupe additif de \mathbb{R} de la forme a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}, montrer que \Lambda dense dans \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{a}{b} \not \in \mathbb{Q}.
3°) Même question avec \Lambda = a\mathbb{N} - b\mathbb{N}
4°) En déduire l’ensemble des valeurs d’adhérences de (cos(n))_{n \in \mathbb{N}}
J’ai un exo relativement similaire sur la première feuille d’exos de cette année, mais je ne l’ai pas sous la main, l’énoncé que j’ai fourni ici est plus difficile, car il y a moins de questions intermédiaires.
la methode de madec est correcte , mais celle de Laotseu est un petit peu brumeuse j’arrive pas a comprendre pourquoi cos(E(2n pi)) CV vers cos1 . cos(E(2n pi)) est extraite de cos(n ) mé elle ne CV pas vers cos 1 . c’est impossible !! 
enigme ,
La méthode de Laotseu montre qu’il y a une infinité de valeurs de n pour lesquels cos n >= cos (1)
et une infinité pour lesquelles cos n =< -cos(1)
Il y a donc au moins deux valeurs d’adhérences distinctes pour cette suite , elle ne peut donc converger .
esta-fette a écrit:
Le théorème fondamental de l’agèbre: qui dit que tout polynôme sur C est scindé…
se démontre avec l’analyse (je ne connais aucune démonstration 100% ALGEBRIQUE )
Les preuves les plus classiques utilisent effectivement de l’analyse, mais il en existe au moins une purement algébrique, par exemple ici (un peu d’autopromotion ne peut pas faire de mal…).
Ragoudvo a écrit:
[quote=« esta-fette »]
Le théorème fondamental de l’agèbre: qui dit que tout polynôme sur C est scindé…se démontre avec l’analyse (je ne connais aucune démonstration 100% ALGEBRIQUE )
Les preuves les plus classiques utilisent effectivement de l’analyse, mais il en existe au moins une purement algébrique, par exemple ici (un peu d’autopromotion ne peut pas faire de mal…).
[/quote]
Je ne suis pas vraiment d’accord : ce papier utilise le théorème des valeurs intermédiaires.
Valvino a écrit:
Je ne suis pas vraiment d’accord : ce papier utilise le théorème des valeurs intermédiaires.
D’accord, d’accord, alors disons : la structure de corps + le théorème des valeurs intermédiaires pour les polynômes. C’est quand même peu comparé à toute l’analyse « classique » !