Ragoudvo a écrit:
[quote=« Madec »]
de plus e^M est bien un polynôme en M (je suppose que le Th de Calay Hamilton aide pour celà)
Ca ne se règle pas simplement à coup de polynôme d’interpolation de Lagrange ?
[/quote]
Ou, plus simplement: en fixant une matrice A, {P(A); P polynôme réel } est un espace vectoriel de dimension finie donc complet.
Madec a écrit:
Je n’ai pas bien compris l’intérêt de parler de continuité dès lors qu’il me semble( mais je peux assurément me tromper !) que les matrices symétriques ne forment pas un ouvert ( introduire une perturbation epsilonesque sur un des coef non diagonaux rompt la symétrie sans changer beaucoup la norme )
Je pense qu’il faut voir S et S++ muni de la topologie induite dans laquelle ils sont ouverts bien sûr.
Madec a écrit:
Après pour l’injectivité.
OK, c’était pas très clair
Je diagonalise M^{-1} D(e^{\lambda_i}) M et je prends un polynôme P (Lagrange et son orchestre par exemple) tel que P(e^{\lambda_i}) = \lambda_i
bien pour l’injectivité ce n’est toujours pas très clair ( pour moi !)
supposons e^A = e^B et e^ci les valeurs propres de cette matice
alors nécessairement les valeurs propres de A ( et B ) sont ci
donc il existe P et Q orthogonales telles que :
P^-1 D(ci) P = A et Q^-1D(ci) Q = B
la question est donc de P^-1 D(e^ci) P = Q^-1 D( e^ci) Q peut -on en déduire A=B
soit QP^-1 commute avec D(e^ci) entraîne t’il que QP^-1 commute avec
D( ci)
ça ne saute pas aux yeux !
Madec a écrit:
bien pour l’injectivité ce n’est toujours pas très clair
Si A est un polynôme en exp(A) (ok?) et B aussi, A et B commutent et sont co-diagonalisables.
Pour la continuité réciproque ça serait bon si j’arrivais à montrer que les valeurs propres d’une matrice de S+ sont « localement bornées » (*minorées *surtout bicoze log tout ça …) …
pour l’injectivité, la methode la plus rapide est d’introduire un polynome d’interpolation de lagrange, il existe d’autres méthodes mais qui demandent plus de calcul
la surjectivité ne semble pas poser de problème il suiffit de diagonaliser…
pour l’injectivité, on utilise une méthode rapide que vous avez deviné: on travaille avec les endos c’est plus cool
soit v dans S^+ , introduisons le polynôme interpolateur de Lagrange P qui envoie chaque valeur propre de sur son logarithme.
Soit u un élément de S tel que e^{u}=v. Si (u_1,u_2,\ldots,u_n) est le spectre de u et (v_1,v_2,\ldots,v_n) est le spectre de v, alors les valeurs propres v_1,v_2,\ldots,v_n de v sont nécessairement ( e^{u_1},e^{u_2},\ldots,e^{u_n}) ; donc P(v_1)=u_1 , \ldots , P(v_n)=u_n .
Si$(e_1,e_2,\ldots,e_n)$ est une base de E dans laquelle la matrice de u est diag(u_1,u_2,\ldots,u_n) , celle de v dans la même base est $diag(v_1,v_2,\ldots,v_n)$donc P(v)=u . Comme P ne dépend que de v, u est unique.
pour la coninuité de la réciproque, on travaille avec les matrices c’est plus cool, on pourra éviter l’inversion locale:
si (M_n) est une suite qui converge vers M dans S^+ et si A_n est la matrice de S telle que \exp(A_n)=M_n, alors la suite (A_n) est bornée (on peut travailler avec les valeurs propres et la norme subordonnée à la norme euclidienne, égale au rayon spectral pour les matrices symétriques). on en déduit ensuite que (A_n) converge vers la matrice A de S telle que \exp(A)=M
si c’est pas assez clair , vous pouvez voir le lien suivant: exo 17, question 5 ça detaille la continuité de la réciproque
ahrar.site.voila.fr/exe_de_la_se … _s_spe.pdf
qui veut proposer un exo?
X 2007 (exo sur lequel je suis passé.. nostalgie 
)
Etudier $E_{\lambda}={ f \in C^{\infty} (\mathbb R,R$$), f(ax+b)=\lambda f(x) }$.
Conditions : a, b > 0, \ a+b=1, \ \lambda \in \mathbb R
stephane-si a écrit:
égale au rayon spectral pour les matrices symétriques
Ok, ça s’invente pas 
PS stephane-si = stephane sur les-maths.net ?
tu peut etre un peu précis sur l’étude demandée?
Il faut décrire précisément l’ensemble (qui n’est pas si gros que ça).
Petite indication (que l’examinateur m’avait donnée d’entrée) : commencer par le cas | \lambda | > 1
dans un oral (par exemple X) combien on donne d’exos à résoudre?
A l’X, tu es examiné pendant 50 ou 55 minutes sans préparation… Donc, c’est un exo après l’autre…
Il me semble que dans certains oraux de Centrale avec préparation, tu peux avoir une question de cours avec exemple et un exercice à préparer…
gardener a écrit:
Il faut décrire précisément l’ensemble (qui n’est pas si gros que ça).
Petite indication (que l’examinateur m’avait donnée d’entrée) : commencer par le cas | \lambda | > 1
Début :
on appliquant n fois f on obtient :
f( a^n x + b(1+a+a^2 + + a^n-1)) = (lamda)^n f(x)
soit f( a^n x + 1)= lamda^n f(x)
a x fixé 0<a<1 et à l’infini pour n a^n -->0 et si !lambda!>1 la forme indéterminée f(1) / infini ne peut se résoudre que par f(x)=0
donc f=0
si !lambda!>1 la forme indéterminée f(1) / infini ne peut se résoudre que par f(x)=0
En quoi c’est une forme indéterminé ? Si |lambda|>1, comme f(1)=f(a+b)=lambda*f(1), on a f(1)=0 non ?
Bref, en effet pour lambda supérieur à 1 en valeur absolue, on a bien E_lambda trivial.
Bon maintenant, cas général? 
suite :
!lambda! <1 alors f(1) =0
puis f’ (1) =0
f^(n)(1) =0
Puis développement de Taylor au point x=1 → f= 0
Madec a écrit:
suite :
!lambda! <1 alors f(1) =0
puis f’ (1) =0
f^(n)(1) =0Puis développement de Taylor au point x=1 → f= 0
Faux.
Le développement de Taylor d’une fonction ne converge pas forcément vers la fonction.
De plus on a pas forcément f^(n) (1)=0 pour tout n. Mais tu brûles ^^
Bonsoir,
Je m’essaie à une solution.
Pour le cas 1 \leq | \lambda |, il semblerait que la réponse ait été donnée précédemment.
Si | \lambda | < 1, comme f est indéfiniment dérivable, on a :
\forall k \in \mathbb{N}, a^k f^{(k)}(ax+b) = \lambda f^{(k)}(x)
Comme a est strictement inférieur à 1, il existe un k tel que a^k \leq | \lambda |. En divisant par a^k l’équation précédente, on est ramené au cas où 1 \leq | \lambda |, mais avec f^{(k)}.
Donc f^{(k)} = 0, et f est un polynôme dont on peut déterminer de manière unique chaque coefficient par la relation : \forall k \in \mathbb{N}, a^k f^{(k)}(ax+b) = \lambda f^{(k)}(x).