C’était pas trop dur (surtout pour des normaliens 
).
Et le 4) alors ? 
pour le 4)
je me souviens d’une caractérisation d’un irrationnel x par l’énoncé suivant :
s’il existe une suite (an , bn) dans Q^2 avec lim bn x-an = 0 et
qlq soit n an/bn # x
alors x est irrationnel
il faut peut-être chercher dans cette voie , par exemple si on considère la somme partielle S_n
faire bn= p_n ! et an= bn Sn
on a bien an/Bn # x
et j’ai l’impression que bn x-an = bnSn-an + bn R_(n+1) = bn R_(n+1)
tend vers 0 .
Madec a écrit:
je me souviens d’une caractérisation d’un irrationnel x par l’énoncé suivant :
s’il existe une suite (an , bn) dans Q^2 avec lim bn x-an = 0 et
qlq soit n an/bn # x
alors x est irrationnel
avec
an=1/n
bn=1
deux suites d’éléments de Q
pour x=0
lim 0*1-1/n=0
pourtant an/bn=1/n qui est bien different de 0 pour tout n
ai-je mal compris?
la caractérisation est juste , mais avec (an,bn) dans Z^2
et non dans Q^2
désolé …ah la mémoire !
néanmoins , celà marche pour l’exo me semble t-il car mes 2 suites an et bn sont dans Z .
En voici un autre … Exercice de colle, que j’avais trouvé difficile à rédiger
Soit f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^{*}_{+}). Soit g \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}).
Soit F : x \mapsto \int_0^{g(x)} f(x, y) dy
Supposons que F soit dérivable, et que : \forall x \in \mathbb{R}, \quad F'(x) = \int_0^{g(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) dy
Montrer que, nécessairement, g est constante.
deux exos:
décrire les sous-groupes finis du groupe des homéomorphismes de \mathb{R} sur lui-même
sinon:
soient M et N dans M_n(\mathbb{C}) montrer que:
les polynômes caractéristiques de M et N sont égaux si et seulement si:
\forall k \in{(1,...,n)}, tr(M^k)=tr(N^k)
(alors pour celui-là, j’ai hâte de vous lire… car ma preuve ne me contente pas trop car à mon sens, elle fait appel à des connaissances un peu au bord du programme de taupe(=un oral d’X pas dur…))
pour les affamés,j’en ai encore en réserve^^ (vive la RMS^^)
Sans souci de rigueur (à la physicienne quoi !)
je tombe sur
F’(x) = Int [0,g(x)] @f/@x + g’(x)f(x,y)
donc les hypothèses conduisent (avec f(x,y) > 0 ) à g’(x)=0 soit g=cste .
emmo a écrit:
deux exos:
décrire les sous-groupes finis du groupe des homéomorphismes de \mathb{R} sur lui-même
sinon:
soient M et N dans M_n(\mathbb{C}) montrer que:
les polynômes caractéristiques de M et N sont égaux si et seulement si:
\forall k \in{(1,...,n)}, tr(M^k)=tr(N^k)
(alors pour celui-là, j’ai hâte de vous lire… car ma preuve ne me contente pas trop car à mon sens, elle fait appel à des connaissances un peu au bord du programme de taupe(=un oral d’X pas dur…))
pour les affamés,j’en ai encore en réserve^^ (vive la RMS^^)
Pour le second :
dans le sens direct :
en trigonalisant M^k = P-1 T_M P
et trace de M^k = trace T_M ^k
si les polynômes caractéristiques de M et N sont égaux , alors les valeurs propres de M et N sont égales , donc les diagonales de T_M^k et T_N^k sont égales pour tout k donc les traces de M_k et N_k sont égales .
dans le sens réciproque , je pense que la décomposition de Dunford et le fait que la trace d’une matrice nilpotente = 0 conduit au résultat
on peut écrire :
M= d1 + m
N=d2+ n
M^k = d1^k + m’ (m’ nilpotente)
N^k= d2^k + m’’ (m’’ nilpotente)
donc tr( d1^k)= tr(d2^k) qlq soit k et il me semble que cela doit permettre de conclure que d1 et d2 ont les mêmes valeurs propres donc M et N ont le même polynôme caractéristique .
oubliez Dunford et cgnie cela ne sert à rien la triangularisation suffit !
il faut juste montrer que en désignant par ai et bi les valeurs propres de N et M alors :
a1+ …+ an = b1+ …+bn
a1^k + …an^k= b1^k + …+ bn^k
pour tout k
conduit à ai=bi pour tout i de [1 ,n]
tout à fait mais en fait à la base, je ne voulais pas utiliser Jordan-Dunford…
mais je voulais passer par la triangularisation… et par Vandermonde
finalement je montre l’assertion de Madec en passant par les formules de Newton… je serais preneur d’une solution par Vandermonde… (car je crois que Vandermonde c’est au programme…)
p.s.: dans votre cours de normalien, zauriez pas un chapitre ou des infos sur des calculs de probas pour des tests de pseudo primalité comme ceux de Lehmer???
merci d’avance^^
Madec a écrit:
Sans souci de rigueur (à la physicienne quoi !)
je tombe sur
F’(x) = Int [0,g(x)] @f/@x + g’(x)f(x,y)
Oui, la rédaction précise est un peu le but de l’exercice en fait 
emmo a écrit:
tout à fait mais en fait à la base, je ne voulais pas utiliser Jordan-Dunford…
mais je voulais passer par la triangularisation… et par Vandermonde
finalement je montre l’assertion de Madec en passant par les formules de Newton… je serais preneur d’une solution par Vandermonde… (car je crois que Vandermonde c’est au programme…)
^^
Avec Vandermond je ne vois pas trop comment faire sur ce cas précis .
Par contre je connais un exo où cela peut être utilisé .
A nilpotente <—> Tr A = Tr A^2=…= Tr A^n =0
pour la réciproque on résoud
a1+a2+ …+an=0
…
a1^n + …+ an^n = 0
et en utilisant un déterminant de Vandermond montrer qu’il y a une valeur propre nulle et enfin qu’elles sont toutes nulles , donc A nilpotente .
Madec a écrit:
Par contre je connais un exo où cela peut être utilisé .
A nilpotente <—> Tr A = Tr A^2=…= Tr A^n =0
Enfin, c’est une des quarante-deux méthodes
décrire les sous-groupes finis du groupe des homéomorphismes de \mathb{R} sur lui-même
Un exo qui rompt la monotonie (haha)
Quelques résultats (très connus) :
1- une fonction continue et bijective sur IR est strictement monotone
2- un élément d’un groupe fini est d’ordre fini
3- la composée de deux fonctions (strictement) décroissantes est (strictement) croissante.
G un tel sous-groupe.
Soit f \in G, (strictement) croissante et différente de l’identité.
Il existe un x tel que f(x) > x. alors f^(n)(x) > f(x) > x : contradiction avec 2-
Si f(x) < x pareil contradiction.
Conclusion pour le moins étonnante : il n’y a pas de fonction croissante != Id dans G !
Soit f (strictement) décroissante de G. Alors f² est croissante (3-) donc égale à l’identité. (remarque en passant : G est abélien !).
Soit f et g décroissante de G alors f°g est croissante donc égale ) Id.
Il y a donc deux sortes de sous-groupes : { Id }, { Id, f } avec f strictement décroissante telle que f² = Id ~= Z/2Z
Peut-on mieux caractériser les homéomorphismes involutifs strictement décroissants ??
J’ai le sentiment qu’ils doivent s’écrire g^{-1}°-Id°g (les conjugués de -Id) avec g un homéomorphisme strictement croissant. Vrai ?
Madec a écrit:
je me souviens d’une caractérisation d’un irrationnel x par l’énoncé suivant :
En fait les nombres premiers sont là juste pour distraire l’attention (exo de « mon invention ») et pour compléter la liste des exos avec es inverses des nombres premiers 
Si 1 < a1 < a2 < … < an < … est une suite d’entiers (strictt croiss. donc) alors
\sum 1/ai ! est irrationnel.
Ca se montre exactement comme pour e.
soient M et N dans M_n(\mathbb{C}) montrer que:
les polynômes caractéristiques de M et N sont égaux si et seulement si:
\forall k \in{(1,...,n)}, tr(M^k)=tr(N^k)
Pourquoi dans C ? N’est-ce pas vrai dans tout corps K ?
Une autre façon de faire :
On se met dans la clôture algébrique de K.
Si les polynomes sont identiques les valeurs propres aussi et le tr(M^k) aussi donc.
Si les traces sont égales : les coefficients du polynôme sont des polynômes symétriques (au signe près) élémentaires de ses racines qui sont exprimables (classique : par récurrence par exemple) comme polynômes de \sum x_i^k. Les polynômes sont donc égaux.
Plus que 40 méthodes à trouver.
alors pour ce qui est de l’exo sur les matrices, oui on peut sans doute généraliser le résultat dans tout corps inclus dans C (non??), sauf que se placer dans M_n(C) ça évite des discussions pour trigonaliser…
de plus, pour la méthode que tu proposes c’est celle qui utilise les formules de Newton (enfin je crois… car ça ressemble beaucoup à ce que j’ai fait…)
pour ce qui est de l’exercice sur les homéomorphismes de R dans R, pour ma part, je me suis arrêté là où tu t’es arrêté ThsQ…
a priori, je ne vois pas trop ce qu’on pourrait dire sur les involutions décroissantes à part qu’elles sont de pente -1 en leur point fixe et que de connaître le côté droit ou gauche de la fonction par rapport à son point fixe nous suffit…
à Madec, oui je connaissais déjà l’exercice^^ merci
sinon: deux autres pour la route:
soient a,b,c>0 deux à deux distincts. Trouver toutes les fonctions f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} de classe C^{\infty} telle que f(ax)+f(bx)+f(cx)=0
et
existe-t-il une suite réelle (a_n)_{n\geq 0} telle que \forall n \in \mathbb{N} le polynôme a_n*X^n+…+a_0 admette exactement n racines réelles distinctes…
(cet exo n’est pas très compliqué mais à mon avis, il est très dur à rédiger par écrit sans explication orale…
emmo a écrit:
pour ce qui est de l’exercice sur les homéomorphismes de R dans R
Je ne sais pas si ça « suffit » comme réponse ou s’il faut aller plus loin.
En tout cas si quelqu’un à la réponse sur la décomposition d’homeo décroissant, je suis preneur !!!
Pour tes deux autres exos :
viewtopic.php?t=11726&postdays=0&postorder=asc&start=60
désolé j’aurais dû me douter qu’omar les avais déjà posté^^
en revanche, je n’ai pas vu le second…
sur les nilpotents, on peut faire des choses marrantes comme montrer qu’avec v_1,…,v_n tous nilpotents de E dans E (avec E de dimension n) et commutant deux à deux,montrer que:v_1°…°v_n=0
p.s.: si le second a été effectivement posté, j’aimerais bien comparer ma solution avec celle proposée… (j’écrivais: a>b>c et f(x)+f(b/ax)+f(c/ax)=0 et je dérivais en raisonnant par l’absurde je montrais qu’à partir d’un certain rang la dérivée était nulle puis je montrais qu’il existe une infinité de zéros pour f…)
trouver tous les polynômes de C tels que:
\exist (k,l) \in \mathbb{N^*}^2 (P^{(k)})^l=Q et P=(Q^{(l)})^k
(désolé si ils ont déjà été posté^^)
emmo a écrit:
en revanche, je n’ai pas vu le second.
P^(k) = dérivée k-ime j’imagine ? (pas la composée ou autre)