Un sur les fractions de Farey et l’autre sur un ensemble généré par des matrices 2x2… De longueur raisonnable on va dire, moins longs que le tien d’après ce que tu en dis (m’enfin poste le quand même qu’on le voit!)
Est-ce que l’examinateur change systématiquement de série d’exercices d’une série à l’autre ? Ca va être difficile de poster si d’autres lecteurs font ensuite passer l’exo pour trivial auprès de l’examinateur en le résolvant rapidement …
En effet si d’autres le trivialisent après toi tu n’auras plus aucun mérite et ta note risque de diminuer considérablement au fur et à mesure des candidats qui seront passés par ce topic…
C’est bien ce que je disais …
xD
JeanN, voici l’exo:
Soit f une fonction de classe C2 de IR dans IR.
On suppose qu’il existe une constante M>0 telle que au voisinage de +oo, abs(f’‹ (x)) < M abs(f ›(x)) (L’inégalité est stricte)
On suppose f(x) équivalent en +oo à exp(x)
Montrer f’(x) équivalent en +oo à exp(x)
Je l’ai déjà vu dans des planches d’oraux
Oui
Et il figurait dans la rms du mois de janvier. Je l’ai posé en colle 
Je connais quelqu’un qui a fait 2 exos à son oral d’Ulm, dont un à grand renfort de théorèmes hors-programme, il a eu 18.
En musique, je verrais bien Nympho de Borgore.
Question plus sérieuse : pour l’oral d’ULCR, apparemment ils mettaient le même exo à 3-4 personnes d’affilée. Est-ce que du coup la notation est relative entre ces 3-4 personnes?
JeanN: Avec le recul je me dis que c’est peut-être finalement assez simple comme exo (par rapport à la moyenne des exos posés à math Ulm), non ? (sans être totalement trivial non plus)
Du coup j’aurais dû être plus rapide pour avoir le temps d’en faire un deuxième
Edit: Downham ta musique conviendrait très bien pour un oral de Maple à Centrale je pense 
Schéma de la démonstration pour ceux que ça intéresse:
• Contraposée du TVI —> f’ est toujours strictement positive (1)
• Ecrire f’ comme primitive de f’’ et injecter l’inégalité et utiliser (1) pour faire disparaître le module ----> f’=O(f) (2) (Pour faire disparaître la constante d’intégration, la « manger » avec le terme à côté qui tend vers +oo)
• Tenter de faire appraître f’-f. Pour cela, poser h:t–>(e^-t)f(t)
• Montrer en utilisant (2) que h’’ bornée (3)
• Lemme: Démontrer que si h admet une limite finie en +oo et h’’ bornée alors h’ tend vers 0 en +oo (Kolmogorov dans le cas particulier n=2) (4)
• Conclure: f’-f=o(f) (Utiliser (3) et (4))
Quelques pistes qui me sont venues à l’esprit et que j’ai disqualifiées assez rapidement pour certaines (mais qui peuvent, à l’extérieur de l’exo, être intéressantes, voire même à l’intérieur de l’exo pour analyser le problème)
(A)• Inutile de recourir aux epsilon en début de démonstration car contrôler f même à des epsilon près ne permet en aucun cas de contrôler f’ (donner l’exemple de t—>e^(-t)sin(e^(4t)))
(B)• Poser g:t—>f’(t)e^(-Mt) (Cette fonction est décroissante (a posteriori peu étonnant), mais c’est assez inutile ici pour la démonstration car M est quelconque)
(C)• Dans le même style, poser g(t)=g:t—>f(t)e^(-(M+1)t)
(D)• Utiliser le lemme de Gronwall (merci JeanN )sur f’ (là encore, on se heurte au fait qu’a priori rien ne montre M<=1)
(E)• Au vu de ce qui empêche les démonstrations précédentes de fonctionner, essayer de se ramener au cas où M<=1 (On voit bien que c’est illusoire de tenter de s’y ramener)
(F)• "On voit bien, intuitivement, que ce qui fait fonctionner l’exercice, c’est que exp croît très rapidement. Si on (i.e. f’) a accumulé trop de retard, un tel retard sera irratrapable par la suite à cause de l’inégalité de départ. (Cette remarque semble avoir beaucoup plu à l’examinateur)
(G)• Tenter de raisonner par l’absurde (« Supposons que suffisamment loin, f’ a soit trop d’avance par rapport à exp ou trop de retard »; « Mais attention, il y a un truc assez vicieux: Autant on voit bien pourquoi le retard est difficilement compensable, à cause de l’inégalité qui nous emprisonne, autant si l’on a trop d’avance, on a encore plus de liberté, et rien ne nous empêche de ralentir » ;« Une démonstration par l’absurde a donc beaucoup plus de chances de fonctionner en-dessous de la courbe qu’au-dessus. »; « Ajoutons à cela la lourdeur de la négation de l’équivalence en +oo, la démonstration qui résulterait serait lourde et laborieuse. » « Je vais plutôt essayer de raisonner directement ».)
(H)• Maintenant que l’exercice est achevé, demandons-nous si c’est encore vrai pour une autre fonction que exp. Si on prend exp(x^2) par exemple. Qualitativement vu la croissance très rapide le résultat devrait encore être vrai même si l’astuce de la démonstration devient inapplicable.
on avait corrigé cet exo en TD (pendant la préparation aux oraux) et si ça peut te rassurer il n’était pas facile du tout
edit : d’ailleurs on avait une preuve par l’absurde très jolie
J’avais tapé cette preuve au mois de février… C’est pas forcément très optimisé…
Merci pour la preuve alternative.
Du coup, en fait j’aurais pu poursuivre sur mes idées (B), (D), (E) (cf supra)
Au fait il me semble que vous raisonnez avec des hypothèses légèrement plus faibles et donc une difficulté supplémentaire (une inégalité large et non stricte au début qui empêche d’utiliser la contraposée du TVI et force l’utilisation de Gronwall (car empêche de faire disparaître des valeurs absolues autour de f’ dans les majorations 3 lignes avant la fin de votre partie "contrôle de f’’ "))
Edit: Tous comptes faits, on peut montrer que si on a l’inégalité large seulement alors f’ ne peut toujours pas s’annuler, mais c’est un tout petit peu plus long (pas très)
Edit 2: Je tape ma démonstration et je l’uploade dans la soirée, ça me fera un entraînement sympa au LateX
aaahhh le latex, moi je suis toujours en galère dessus après un TIPE en lateX pourtant 
La démonstration que j’ai utilisée le jour de mon oral d’Ulm
Erratum: Dans la ligne juste avant la conclusion 4, c’est psi(x+s/lambda) !!
Est-ce que d’autres candidats pourraient poster leurs énoncés d’oraux de mathématiques spécifiques Ulm ? SVP ?