</s><e>Bonjour, j’ai une question concernant le théorème suivant :
Soit a et b deux réels distincts. Soit f : ]a,b] \rightarrow \mathbb{R} une fonction dérivable.
On suppose qu’il existe \alpha \in \mathbb{R} tel que \underset{x \rightarrow a}{lim} f(x) = \alpha.
On suppose aussi qu’il existe \beta \in \mathbb{R} tel que \underset{x \rightarrow a}{lim} f'(x) = \beta.
Alors la fonction \tilde{f} :\left\{\begin{matrix}<br/>
[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\\ <br/>
x \mapsto <br/>
\left\{\begin{matrix}<br/>
f(x) \text{ si } x > a\\ <br/>
\alpha \text{ si } x \not = a<br/>
\end{matrix}\right.<br/>
\end{matrix}\right. est dérivable en \alpha et \tilde{f'}(\alpha) = \beta.
J’ai demandé à mon professeur si cela ne revenait pas tout simplement à prolonger la dérivée de f par continuité et il m’a répondu que non, sans que je comprenne son explication. Pourriez-vous me l’expliquer ? Merci d’avance.
L’article suivant peut-il t’aider ?
Dérivabilité et prolongement :
<LINK_TEXT text=« https://fr.wikipedia.org/wiki/Déri … olongement »>https://fr.wikipedia.org/wiki/Dérivabilité#D.C3.A9rivabilit.C3.A9_et_prolongement</LINK_TEXT>
Bonjour, merci de ton aide, mais l’article ne fait qu’énoncer le théorème sans répondre (sauf erreur) à ma question.
Pour reformuler : sous les hypothèses précisées plus haut, pourquoi ne puis-je pas dire que « la dérivée de $f$ se prolonge par continuité en $a$ » ?
Merci
Bonjour
Quand une fonction n’est pas définie en un point, on a tout le loisir, si elle y possède une limite, de la prolonger par continuité.
En revanche, quand une fonction est définie en un point a,
soit elle est dérivable en ce point a,
soit elle n’y est pas dérivable.
On n’a aucune latitude pour décider de sa dérivabilité et de la valeur de cette dérivée.
Le théorème en question (souvent improprement appelé th de prolongement de la dérivée)
prouve que le nombre dérivé existe en ce point.
Dans ce que tu cites dans ton premier post,
on commence par prolonger la fonction, puis on prouve qu’elle est dérivable.
L'une des hypothèse (celle sur la limite de f') t'assure effectivement que f' admet un prolongement par continuité en a.
Ton prof ne ce serait pas embêté à appeler "théorème" et à lui mettre des hypothèses aussi fortes pour une conclusion aussi bateau.
C'est donc que la portée de cet énoncé est beaucoup plus forte que la simple constatation de l'existence d'un prolongement par continuité de f' en a (note que cette constatation n'utilise même pas l'autre hypothèse de limite sur f).
Merci à vous deux pour vos réponses.
</s><e>
En lisant jmctiti, j’ai cru comprendre (à tort ?) qu’on ne pouvait prolonger la dérivée d’une fonction, car alors, ce ne serait plus la dérivée de cette fonction.
L’intérêt de cet énoncé, c’est donc qu’il permet de justifier que \tilde{f} est dérivable en a, en calculant \underset{x \rightarrow a}{lim} f'(x) plutôt que \underset{x \rightarrow a}{lim} \frac{\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)}{x-a} ?
Ce théorème est plus fort: il te dit que la fonction est C1 sur l’intervalle en question (fermé en a).
Sauf que l’on ne sait pas que f’ est continue sur l’intervalle !
Ah oui my bad :?
Ce que je voulais dire c’est que typiquement on utilisera ce théorème si on veut montrer le caractère C1 d’une fonction par exemple (enfin les seules rares fois où j’ai dû l’utiliser c’était pour ça).
De façon plus générale (mais est-ce utile?) cela nous permet plutôt de trouver un intervalle telle que la fonction prolongée y est C1 vu que sa dérivée est continue au voisinage de a dans [a,b].
Je n’ai pas fait d’erreur cette fois? 
Pourquoi voudrais-tu que la dérivée soit continue sur un voisinage de a ?
Je ne le veux pas…c’est une conséquence du théorème (et un voisinage de a compris dans [a,b], qui est donc intervalle de [a,b]) qui permettrai de montrer que la fonction est C1 sur cet intervalle de [a,b] mais je ne suis pas sûr que ça soit utile comme conséquence, je sur-interprète peut-être…
Le principal intérêt du théorème reste pour moi de montrer le caractère C1 d’une fonction sur un certain intervalle,et en général on va pas se casser la tête et directement étudier la fonction sur l’intervalle en question j’imagine plutôt que d’en prendre un plus grand (sauf à vouloir trouver un tel intervalle).
salut
ce théorème ne nous permet-il pas tout simplement d’écrire qu’au voisinage de a </s>f(a + h) = \alpha + \beta h + o(h)<e> ??
Si
Il ne dit rien sur la continuité éventuelle de la dérivée en d’autres points que a.
ok merci …