J’ai entendu parlé du théoeème du prolongement dérivable qui sert à montrer qu’une fonction C^{p} par morceaux est de classe C^{p} sur le domaine de définition.Je ne sais pas si quelqu’un pourrait me préciser ses hypothèses.Merci d’avance.[/tex]
Théorème de prolongement des fonctions de classe C1
Soit f continue sur [a,b], de classe C1 sur [a,b[.
Si f ’ admet une limite finie L en b,alors f est de classe C1 sur [a,b], et f '(b) = L.
En fait on démontre mon théorème par récurrence avec comme initialisation le théorème de prolongement des fonctions de classe C1.Et donc on peut l’énoncé comme suit:« Soit f une fonction continue sur [a,b](respectivement sur I),de classe C^{(p)} sur [a,b[(resp. C^{(p)} par morceaux sur I). Si f^{(p)} admet une limite L en b (resp. si f^{(p)} est prolongeable par continuité aux points de discontinuités) alors f est de classe C^{(p)} sur [a,b] (resp. de classe $C^{(p)}$sur I) et f^{(p)}(b)=L ». ça me paraît cool comme théorème 
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fredo118 a écrit:
En fait on démontre mon théorème par récurrence avec comme initialisation le théorème de prolongement des fonctions de classe C1.Et donc on peut l’énoncé comme suit:« Soit f une fonction continue sur [a,b](respectivement sur I),de classe C^{(p)} sur [a,b[(resp. C^{(p)} par morceaux sur I). Si f^{(p)} admet une limite L en b (resp. si f^{(p)} est prolongeable par continuité aux points de discontinuités) alors f est de classe C^{(p)} sur [a,b] (resp. de classe $C^{(p)}$sur I) et f^{(p)}(b)=L ». ça me paraît cool comme théorème
Il l’est. A titre d’exercice, tu peux l’utiliser pour démontrer qu’il existe une fonction C^{\infty} de \mathbb{R} dans lui-même nulle en dehors d’un segment donné mais non identiquement nulle. Cette construction est marrante en soi et surtout sert à un niveau plus élevé pour construire proprement la théorie des distributions.
La fonction escalier sur [0;1] et nulle sur ailleurs.Elle me paraît faire l’affaire en considérant sa subdivision $(a_{i}){i\in\I}et en appliquant le théorème de prolongement dérivable sur chaque intervalle [a{i},a_{i+1}]$.cqfd
fredo118 a écrit:
La fonction escalier sur [0;1] et nulle sur ailleurs.Elle me paraît faire l’affaire en considérant sa subdivision $(a_{i}){i\in\I}et en appliquant le théorème de prolongement dérivable sur chaque intervalle [a{i},a_{i+1}]$.cqfd
Une fonction en escalier n’est continue que si elle est constante, vu qu’elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs… A fortiori, pas C^{\infty}!
N’oublions pas qu’il y a une hypothèse de continuité dans le théorème sus-cité, et que tu viens juste en fait de démontrer qu’on ne peut pas s’en passer.
Est ce qu’une fonction en escalier est nécessairement définie sur un intervalle?
Par exemple f définie sur [0,1] U [2,3] par
f(x)=1 sur [0,1]
f(x)=2 sur [2,3]
est elle en escalier?
jojo a écrit:
Est ce qu’une fonction en escalier est nécessairement définie sur un intervalle?
Oui. Enfin bon, on peut toujours étendre les définitions comme on veut, mais en prépa, elles sont d’abord définies sur les segments, puis on peut étendre cette définition de manière intéressante aux intervalles quelconques. Cependant, ça n’a que peu de rapport avec la question initiale (qui demandait des fonctions définies sur R).
C’était juste une question innoncente…
Merci.
A+
zut!Je me suis encore planté la reponse était à porté il fallait juste prendre la constante sur un segment.
fredo118 a écrit:
zut!Je me suis encore planté la reponse était à porté il fallait juste prendre la constante sur un segment.
Non plus: on veut une fonction définie sur R et indéfinitment dérivable…
Indication: chercher du côté de exp(-1/x^2).
Mû a écrit:
A titre d’exercice, tu peux l’utiliser pour démontrer qu’il existe une fonction C^{\infty} de \mathbb{R} dans lui-même nulle en dehors d’un segment donné mais non identiquement nulle. Cette construction est marrante en soi et surtout sert à un niveau plus élevé pour construire proprement la théorie des distributions.
Oui, ca permet de montrer beaucoup de choses et de créer beaucoup d’objets:
La démonstration du théorème de Stokes que je connais, passe par ces fonctions. De même pour le théorème de Tietze-Urysohn.
C’est là toute la différence entre les fonctions dérivables réelles, et les fonctions dérivables complexes. On ne peut pas avoir de telles fonctions complexes, elles sont beaucoup trop rigides, tandis ce que les fonctions réelles sont très souples.