Bonjour
J’ai un petit probleme avec le programme de prepa HEC
On sait quesi P est u npolynome annulateur d’un endomorphisme f, alors les eventuelles valeurs propres de f sont les racines de P
mais commen on sait que f a vraiment des valeurs propres ?
par exemple si u est un endomorphisme verifiant u^3-3u^2+2u=0 comment montrer que u est diagonalisable ?
merci
Hello,
Si tu dois trouver les valeurs propres de f, le moyen le plus direct est le calcul du polynôme caractéristique (y’en a d’autres biensûr). Si tu as juste un annulateur P, tu sais effectivement que toute valeur propre de f annule P.
Comme tout annulateur est multiple du polynôme minimal, si tu démontres que cet annulateur est de degré minimal parmi tous les autres annulateurs, alors tu as l’égalité entre l’ensemble des racines de P et les valeurs propres de f…
Maintenant pour ton exemple, il y a une condition nécéssaire et suffisante qui dit : « s’il existe un annulateur de f scindé à racines simples (dans le corps de référence) alors…f diagonalisble. » Vois si tu peux utiliser ça…
Il suffit de montrer qu’il existe un polynome annulateur P scindé a racines simples. Cela implique que le polynome minimal est scindé a racines simples (car il est generateur de l’idéal des polynomes annulateur et donc divise P).
Par exemple ici : X^3 - 3X^2 + 2X = X(X-2)(X-1) donc on sait que u est diagonalisable et que ses valeurs propres sont dans \{ 0, 1, 2 \}
Bonjour
merci pour ces réponses
le probleme c’est que les notions dont vous me parlez ne sont pas au programme de prépa HEC
du coup on doit se débrouiller un peu « a la main » sur les exemples précis
un autre exemple : trouver toutes les matrices A qui vérifient : A²-3A+2I=0
P(x)=(x-1)(x-2) est annulateur donc les valeurs propres eventuelles sont 1 et 2
si 1 est la valeur propre double A=I, si 2 est valeur propre double A=2I, si 1 et 2 sont valeurs propres alors A est semblable alamatrice diagonale avec 1 et 2 sur la diagonale
normalement on a fait tous les cas possibles
sauf que comment on est sur qu’il existe bien une valeur propre ? (des endomorphismes sans valeur propre ca existe) ou que par exemple le sous espace propre associé à 1 est de dimension 1 et 2 pas valeur propre ?
si un prépa HEC peut donner son avis (un MP est bienvenu aussi mais il en sait bcp trop par rapport au programme de HEC)
merci
En fait, puisque le polynôme caractéristique de A est \chi_A(X) = \det(XI_n-A), on sait que les racines de \chi_A sont exactement les valeurs propres de A.
En effet, on montre successivement que \lambda est une valeur propre de A ssi :
Dans ton cas, on sait donc que 1 et 2 sont valeurs propres de A, et qu’il n’y a pas d’autre valeur propre. Par la suite, puisque A est une matrice 2x2 et qu’elle a déjà 2 valeurs propres distinctes, ces valeurs propres sont forcément simples.
J’imagine que Roro veut une méthode sans aucune allusion à un déterminant.
Une idée est de prouver une version affaiblie du lemme des noyaux à la main :
-Si P est un polynôme, \lambda un scalaire et u un endomorphisme vérifiant (u-\lambda\,Id)\circ\,P(u)=0, on montre que, pour tout vecteur x et tout polynôme Q, Q(u)(P(u)(x))=Q(\lambda)\,P(u)(x).
-On suppose de plus que \lambda n’est par racine de P, et on prouve selon ce qui suit que \ker(u-\lambda\,Id) et \ker(P(u)) sont supplémentaires :
Par analyse-synthèse, si x est un vecteur quelconque, si y\in\ker(u-\lambda\,Id), z\in\ker(P(u)) et x=y+z, alors y=\dfrac{P(u)(x)}{P(\lambda)} et z=x-y.
Le lemme du début permet de vérifier que y et z ainsi définis fonctionnent.
Avec le programme de prépa HEC, tu dois raisonner au cas par cas. Tu sais que si P\in\mathbb{R}[X] est annulateur de u\in\mathcal{L}(E), alors \mathrm{Spec}(u)\subset \{ \lambda\in\mathbb{C} \mid P(\lambda)=0\}. Ca aide grandement à faire le ménage parmi les valeurs propres, tu connais au moins celles qui sont candidates.
Ensuite, faut t’adapter à l’exercice.
si u est nilpotent d’indice k \geqslant 2, alors X^k est annulateur de u, \mathrm{Spec}(u)\subset \{0\}; et 0 est effectivement valeur propre car u est non inversible. Ainsi u a exactement une valeur propre, mais u\neq 0.Id_E=\theta, donc u n’est pas diagonalisable. [passage corrigé, merci à -guigui-]
(rappel : u est diagonalisable et admet exactement une valeur propre \lambda si et seulement si u=\lambda.Id_E cad u est une homothétie vectorielle de rapport \lambda).
si u est un endomorphisme symétrique, tu es assuré qu’il admet au moins une valeur propre. De plus, tu sais que toutes ses valeurs propres sont réelles, \mathrm{Spec}(u)\subset\mathbb{R}.
tu dois maîtriser le cas des projecteurs/projections et des symétries.
Si p est une projection vectorielle non triviale (différente de l’endomorphisme nul et de l’identité), alors \displaystyle E=\mathrm{Ker}(p)\oplus\mathrm{Ker}(p-Id), ces 2 sous-espaces propres ne sont pas réduits à l’espace nul \{\vec{0} \} et \mathrm{Spec}(p)=\{0,1\}.
Si s est une symétrie vectorielle non triviale (différente de +/- l’identité), alors \displaystyle E=\mathrm{Ker}(s-Id)\oplus\mathrm{Ker}(s+Id), ces 2 sous-espaces propres ne sont pas réduits à l’espace nul \{\vec{0} \} et \mathrm{Spec}(s)=\{-1,1\}.
Enfin, et ça c’est du bonus vraiment essentiel si tu vises les 3 parisiennes, tu dois connaître une version simplifiée du lemme des noyaux. Non pas pour la balancer telle quelle à l’écrit ou l’oral (ça risque fort de ne pas passer puisque ça court-circuiterait entre 1 et 3 questions), mais pour connaître à l’avance si ce que tu cherches à montrer est vrai ou faux, bref pour te donner des directions.
L’énoncé que tu dois connaître en ECS est :
Si (\lambda_i)_{1\leqslant i \leqslant p} sont p réels/complexes distincts et que \displaystyle P=\prod_{i=1}^p{(X-\lambda_i)} est un polynôme annulateur de u, alors : \displaystyle E=\bigoplus_{i=1}^p{\mathrm{Ker}(u-\lambda_i Id_E)}.
Ceci t’assure que u est diagonalisable : E est somme directe de sous-espaces, qui sont soit des espaces nuls (s’ils ne correspondent pas à une valeur propre effective de u, auquel cas tu peux les retirer de la somme directe sans rien changer), soit des espaces propres (s’ils correspondent à une valeur effective de u, autrement dit qu’ils sont de dimension au moins 1). On appelle P un polynôme scindé sur \mathbb{R} (resp.sur \mathbb{C}) (=il s’exprime comme produit de polynômes du premier degré sur \mathbb{R} (resp. sur \mathbb{C})) à racines simples.
Dans la pratique, et toujours dans la droite ligne du programme ECS, un exercice typique d’oral ESCP est effectivement celui que tu donnes :
Soit u\in\mathcal{L}(E) vérifiant u^3-3u^2+2u=\theta. Montrer que u est diagonalisable.
P=X(X-1)(X-2) est annulateur de u (ça, tu dois être capable de le trouver tout seul, le jury te reprochera de ne même pas dire ça). Ensuite, la connaissance du lemme des noyaux t’apprends que E=\mathrm{Ker}(u)\oplus\mathrm{Ker}(u-Id_E)\oplus\mathrm{Ker}(u-2Id_E) puisque P est à racines simples. Mais ça, normalement, tu ne le dis pas au jury, tu te contentes de prouver le résultat par analyse/synthèse. Tu considères donc x\in E quelconque, et :
Analyse : si x=a+b+c avec a\in\mathrm{Ker}(u), b\in\mathrm{Ker}(u-Id_E) et c\in\mathrm{Ker}(u-2Id_E), alors en appliquant u on trouve : u(x)=b+2c, puis en appliquant une nouvelle fois, u^2(x)=b+4c. Tu as donc un système à 3 équations, 3 inconnues (a, b et c), et qui admet une unique solution (puisque ce que l’on veut montrer est vrai, l’unicité de la décomposition). Il ne reste plus qu’à exprimer a, b et c en fonction de x, u(x) et u^2(x).
Synthèse : tu réinjectes les formules trouvées précédemment pour montrer qu’effectivement x=a+b+c.
Tu remarqueras qu’en fin de compte, on ne connaît même pas les valeurs propres de u. Ca tombe bien : ce n’était pas la question (et il aurait été vain de les chercher, sans plus d’hypothèses).
[Edit] C’est un peu en décalage avec ton topic, mais tu as aussi (légèrement HP) : si u est diagonalisable, \displaystyle \mathrm{tr}(u)=\sum_{\lambda \in \mathrm{Spec}(u)}{(\lambda)}. Pratique quand par exemple tu as une matrice A de M_3(\mathbb{R}) dont tu as trouvé 2 valeurs propres \lambda_1 et \lambda_2. Si tu sais que A est diagonalisable, et qu’il y a une 3e valeur propre \lambda_3 dans l’air (ie. que les sous-espaces propres pour les valeurs propres \lambda_1 et \lambda_2 sont des droites vectorielles), alors \lambda_3=\mathrm{tr}(A)-(\lambda_1 + \lambda_2). Ici, \mathrm{tr} désigne l’application trace (d’une matrice : somme des éléments diagonaux; d’un endomorphisme : la trace de sa matrice représentative dans n’importe quelle base, après avoir montré que justement la trace ne dépend pas de la base choisie).
Juste une remarque… Même avec le programme d’ECS, il n’y a rien d’obscène à dire que les valeurs propres d’un endomorphisme annulent son polynôme caractéristique :
\exists x \in E-\{0\}, u(x) = \lambda x \Longleftrightarrow u-\lambda \text{Id} \text{ non bijective} \Longleftrightarrow \text{det}(u-\lambda \text{Id}) = 0
Chercher les valeurs propres parmi les zéros du polynôme caractéristique n’est alors pas une méthode spécialement élaborée. Sans même exploiter la notion de polynôme annulateur, on peut affirmer que si le polynôme caractéristique d’un endomorphisme admet n zéros distincts dans le corps, l’endomorphisme sera diagonalisable. En revanche pour aller plus loin il faudra effectivement regarder l’allure des espaces propres « à la main ».
sauf que comment on est sur qu’il existe bien une valeur propre ? (des endomorphismes sans valeur propre ca existe)
Dans le cas général, on n’en est pas sûrs. Cependant, on sait que si une valeur propre existe, elle annule le polynôme caractéristique. Il suffit donc de regarder les zéros du polynôme caractéristique qui sont dans le corps pour conclure quant à l’existence de valeurs propres.
Par exemple :
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.
P_A = X^2+1 = (X-i)(X+i) donc diagonalisable sur \mathbb{C}, mais pas sur \mathbb{R} (pas de valeur propre réelle).
Roro a écrit:
Bonjour
J’ai un petit probleme avec le programme de prepa HEC
On sait quesi P est u npolynome annulateur d’un endomorphisme f, alors les eventuelles valeurs propres de f sont les racines de P
mais commen on sait que f a vraiment des valeurs propres ?
par exemple si u est un endomorphisme verifiant u^3-3u^2+2u=0 comment montrer que u est diagonalisable ?
merci
J’ai un petit problème avec ton « les » racines de P. Les valeurs propres de f sont parmis les racines de P, mais toutes les racines de P ne sont pas valeurs propres !
Partir du polynôme caractéristique (dont les racines sont exactement les valeurs propres comme l’a dit V@J) (ou minimal) et rajouter *(X-42) avec une matrice qui n’a pas 42 pour vleur propre (matrice inculte), ça reste annulateur !
Il faut bien faire attention à ça de manière générale en mathématiques, on utilise souvent les termes « sont les » pour dire « sont exactement les ».
c’est une inclusion en fait.
bzkl a écrit:
Juste une remarque… Même avec le programme d’ECS, il n’y a rien d’obscène à dire que les valeurs propres d’un endomorphisme annulent son polynôme caractéristique :
\exists x \in E-\{0\}, u(x) = \lambda x \Longleftrightarrow u-\lambda \text{Id} \text{ non bijective} \Longleftrightarrow \text{det}(u-\lambda \text{Id}) = 0
Bah si, pour la simple raison que quasiment aucun ECS n’a la moindre idée de ce qu’est un « polynôme caractéristique » ou un « déterminant »…
(à la rigueur le terme « déterminant » a pu être évoqué vaguement lors de l’inversion d’une matrice 2x2, c’est dire lol).
YLS a écrit:
- si u est nilpotent d’indice k \geqslant 2, alors X^k est annulateur de u, \mathrm{Spec}(u)\subset \{0\} mais 0 n’est pas valeur propre car u\neq 0.Id_E=\theta. Donc u n’a aucune valeur propre.
(rappel : u admet exactement une valeur propre \lambda si et seulement si u=\lambda.Id_E cad u est une homothétie vectorielle de rapport \lambda).
Euh pas d’accord. Si on est en dimension finie, 0 est la seule valeur propre d’un endomorphisme nilpotent.
Ton rappel est faux, j’aurais plutôt dit :
u est diagonalisable et admet exactement une valeur propre \lambda si et seulement si u=\lambda.Id_E cad u est une homothétie vectorielle de rapport \lambda
Sauf erreur.
Oui merci de me reprendre, j’ai vraiment dit n’importe quoi… Tout endomorphisme nilpotent n’est pas inversible donc admet bien 0 comme valeur propre… J’espère que ça n’a pas embrouillé Roro. Ta correction de l’équivalence est bonne, oui. J’ai édité mon post précédent en conséquence.
Merci beaucoup pour toutes ces réponses
Je crois que j’ai tout compris sur la diagonalisation grace à vous
Si P est un polynome annulateur avec des racines simples je montre que E est somme directe des Ker(u-t*id) et donc qu’il est diagonalisable
pour ca j’écris x=x1+…+xn avec xp dans Ker(u-p*id) et j’en déduis une condition nécessaire sur xp
puis je montre qu’une telle décomposition convient
merci infiniment pourtoutes ces réponses
salut
au lieu de créer un nouveau topic, je continue sur celui puisqu’il est pour ECS est sur pol annulateur et valeurs propres.
Je voulais savoir si pour montrer que tout endomorphisme (on le note f par la suite) d’un espace de dimension fini admet au moins une valeur propre complexe on pouvait dire :
en notant P un polynôme annulateur on a :
Sp(f) inclu dans l’ensemble des racines de P
or vide n’appartient pas à l’ensemble des racines de P (car un pol annulateur non nul a au moins une racine)
donc Sp (f) différent de vide
d’où f admet au moins une valeur propre.
Merci !
(je rappelle, comme plus haut cf YLS que nous n’avons pas toutes les notions de déterminants etc, et ici si on utilise le théorème des noyaux proposé par YLS bah c’est vite moche je trouve)
Oui ok pour l’idée, mais :
1 - précise qu’il existe au moins un polynôme annulateur (le coup classique de la famille de n²+1 éléments dans L(E))
2 - « Or vide n’appartient pas à l’ensemble des racines de P » c’est mal dit ; je dirais « mais l’ensemble des racines de P n’est pas l’ensemble vide (P de degré supérieur ou égal à 2 + théorème de d’Alembert-Gauss) »
Dans ce cas c’est toubon !
Pourtant le vide est inclus dans tout ensemble…
LB a écrit:
Pourtant le vide est inclus dans tout ensemble…
Et dans certains estomacs en ce moment
