Tu intersectes ton fermé avec une boule fermé pour cette norme. Tu as donc un fermé bornée, ie un compact
La 1ère partie de centrale pouvait largement se faire en une question (qui est d’ailleurs une question récurrente au mine)
Elle est bornée donc elle admet une valeur d’adhérence qui est l’inf par unicité et qui s’écrit L(P) comme An est fermé et par continuité de L.
Il avait annoncé un sujet sur les séries. Il s’est déjà trompé sur un point.
Beaucoup, je crois pas, mais il est indéniable qu’il y en avait.
Quelques uns mais en même temps c’est logique ils nous ont déplacé du centre d’Arcueil (déjà assez loin pour certains) vers polytechnique qui est juste 100x trop loin (j’ai passé 2h en rer pour y arriver).
Edit voir la réponse de donnerwetter
Sauf erreur de ma part, on peut se limiter à construire un compact avec la méthode que j’ai donné juste avant et on a directement par continuité de l’application L l’existence d’un min
Je comprends pas trop ton idée.. C’est quoi cette boule fermée que tu va prendre ?
</s>\{P\in A_N:\lVert P\rVert_1\leq\alpha_N+1\}<e> ou l’intersection de </s>A_N<e> avec la boule fermée de centre </s>0<e> et de rayon </s>\alpha_N+1<e>. On peut rempacer </s>1<e> par n’importe quel réel strictement positif.
1 appartient à Bn, or N(1)=2.
On prend la boule fermer B(0,2) pour la norme 1.
On a A_n inter B(0,2) est un fermé bornée, donc L atteint un min dessus puis par définition si P appartient à A_n :
Si il est dans l’intersection alors il est supérieur au min
Si il n’y est pas alors N(P)>2, donc supérieur au min
1 appartient à Bn ? Pourquoi ?
Sinon l’autre idée de ||P1||=< an+1 je vois bien… Merci !
A_n sorry
Hmm je ne comprends pas pourquoi on peut pas dire que [ctex]\left | \left | P \right | \right |{1}\leq 2M[/ctex] où [ctex]M=sup{x\in [-1,1]}\left | P(x) \right |[/ctex] pour borner A_N ? …
M dépend du polynome que tu choisis
Ah …
Hmm oui donc dans tous les cas pour P appartient à A_N, ||P||>min L(P) ? comment conclure ??
Une remarque culturelle sur maths B, sujet de secours. La première partie traite des polynômes de Legendre qui servent en intégration numérique.
Ces polynômes sont tombés en maths 1 sur le concours CCP cette année (partie III) mais ils sont introduit différemment dans ce sujet. La formule employée dans la première partie pour définir ces polynômes s’appelle formule de Rodrigues.
Dans la deuxième partie, dans la question 10, on regarde ce que l’on appelle un lieu géométrique exprimé dans le plan complexe. Pour ce que j’en ai entendu, l’étude des lieux géométrique et des barycentres ont disparu du programme de terminale. Il se trouve que certaines parties de la question 10 ont fait partie de ce programme excepté que le lieu géométrique était exprimé dans le plan (non complexe). Et je trouve plus facile de voir que le lieu </s>\{M:AM/BM=\lambda\}<e> est un cercle (pour certaines valeurs de lambda) en utilisant les produits scalaires et les barycentres (avec poids) qu’en utilisant les complexes.
Les deux dernières lignes concluent
Ce sujet est très « vieille école » et je ne serais pas surpris qu’il ait été écrit il y a très longtemps (au moins une dizaine d’années). Cela change (en bien) des sujets interminables et mal ficelés que subissent les candidats de manière quasi-systématique depuis le début de la décennie.
Une remarque toutefois sur la partie II dans sa globalité : il y avait quand même une méthode nettement plus simple pour voir pourquoi tout polynôme pair optimal est nécessairement à racines dans </s>[-1,1]<e>. On peut effet facilement, grâce à la parité, factoriser </s>R_N<e> en </s>PQ<e> où </s>P<e> est pair et a toutes ses racines dans </s>]-1,1[<e>, et </s>Q<e> est pair et n’en a aucune, et en outre </s>Q(1)=1<e>. En particulier, </s>Q<e> reste strictement positif sur </s>[-1,1]<e>, puis </s>P<e> y est donc positif au sens large. Il reste à voir que </s>Q<e> est constant : mais s’il ne l’est pas il est de degré au moins 2 et on peut alors en prendre une perturbation </s>\widetilde{Q}=Q-\epsilon(1-X^2)<e> avec </s>\epsilon>0<e> assez petit (utiliser le fait que </s>Q<e> a un minimum strictement positif sur [-1,1]), et l’on démontre alors que </s>L(P\widetilde{Q})<L(PQ)<e>, alors qu’évidemment </s>P\widetilde{Q}<e> est bien dans </s>A_N<e>.
Je n’ai pas compris non plus l’intérêt de la partie sur les cercles dans le plan complexe si ce n’est quelques techniques opératoires.
En effet, puisque R_N est un polynôme réel, on pouvait tout à fait utiliser la décomposition dans R des polynômes, ce qui évitait d’avoir à utiliser des nombres complexe dans la décomposition. Ainsi, pour chacun des facteurs en (X-a)²+b², on utilise alors la parité de R_N pour montrer que a = 0, et ainsi, toutes les racines sont dans ]-1,1[.