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Convergence uniforme de fonctions monotones

convergence uniformefonctions monotonesthéorème de Dinithéorème de HeineThéorème de HeineSubdivision

Soit (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions réelles définies sur le segment [0,1][0, 1]. On suppose que chaque fonction fnf_n est croissante sur [0,1][0, 1] et que la suite (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} converge simplement vers une fonction ff continue sur [0,1][0, 1].

  1. Démontrer que la fonction limite ff est croissante sur [0,1][0, 1].
  2. Établir que la suite (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} converge uniformément vers ff sur [0,1][0, 1].

1.

Pour la question 1, utiliser le passage à la limite dans une inégalité large.

2.

Pour la question 2, utiliser le fait que ff est uniformément continue sur [0,1][0, 1] (théorème de Heine).

3.

Considérer une subdivision finie 0=x0<x1<⋯<xp=10 = x_0 < x_1 < \dots < x_p = 1 et encadrer fn(x)−f(x)f_n(x) - f(x) en utilisant la croissance des fonctions et la proximité des valeurs aux points de la subdivision.

Idées clés

•

Passage à la limite dans les inégalités pour la croissance de ff.

•

Théorème de Heine : continuité uniforme sur un compact.

•

Utilisation de la monotonie pour contrôler l'écart entre les points d'une subdivision.

Résolution.

  1. Soient x,y∈[0,1]x, y \in [0, 1] tels que x≤yx \leq y. Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, comme fnf_n est croissante, on a :
    fn(x)≤fn(y)f_n(x) \leq f_n(y)
    En passant à la limite quand n→+∞n \to +\infty dans cette inégalité large, la convergence simple assure que :
    lim⁡n→+∞fn(x)≤lim⁡n→+∞fn(y)\lim_{n \to +\infty} f_n(x) \leq \lim_{n \to +\infty} f_n(y)
    On en déduit immédiatement :
    f(x)≤f(y)\boxed{ f(x) \leq f(y) }
    La fonction ff est donc croissante sur [0,1][0, 1].

  2. Soit ε>0\varepsilon > 0. Puisque ff est continue sur le segment [0,1][0, 1], elle est uniformément continue sur ce segment d'après le théorème de Heine. Il existe donc δ>0\delta > 0 tel que pour tout (x,y)∈[0,1]2(x, y) \in [0, 1]^2 :
    ∣x−y∣≤δ  ⟹  ∣f(x)−f(y)∣≤ε|x - y| \leq \delta \implies |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon
    Choisissons un entier pp assez grand pour que 1p≤δ\frac{1}{p} \leq \delta. Considérons la subdivision régulière (xk)0≤k≤p(x_k)_{0 \leq k \leq p} définie par xk=kpx_k = \frac{k}{p}. Pour tout k∈{0,…,p}k \in \{0, \dots, p\}, la suite (fn(xk))n∈N(f_n(x_k))_{n \in \mathbb{N}} converge vers f(xk)f(x_k). Comme l'ensemble des points xkx_k est fini, il existe un rang N∈NN \in \mathbb{N} tel que :
    ∀n≥N,∀k∈{0,…,p},∣fn(xk)−f(xk)∣≤ε\forall n \geq N,   \forall k \in \{0, \dots, p\},   |f_n(x_k) - f(x_k)| \leq \varepsilon
    Soit x∈[0,1]x \in [0, 1]. Il existe k∈{0,…,p−1}k \in \{0, \dots, p-1\} tel que x∈[xk,xk+1]x \in [x_k, x_{k+1}]. Par croissance de fnf_n et de ff, nous avons les encadrements suivants :
    fn(xk)≤fn(x)≤fn(xk+1)etf(xk)≤f(x)≤f(xk+1)f_n(x_k) \leq f_n(x) \leq f_n(x_{k+1})   \text{et}   f(x_k) \leq f(x) \leq f(x_{k+1})
    On en déduit :
    fn(x)−f(x)≤fn(xk+1)−f(xk)=fn(xk+1)−f(xk+1)⏟≤ε+f(xk+1)−f(xk)⏟≤ε≤2εf_n(x) - f(x) \leq f_n(x_{k+1}) - f(x_k) = \underbrace{f_n(x_{k+1}) - f(x_{k+1})}_{\leq \varepsilon} + \underbrace{f(x_{k+1}) - f(x_k)}_{\leq \varepsilon} \leq 2\varepsilon
    De même pour la minoration :
    fn(x)−f(x)≥fn(xk)−f(xk+1)=fn(xk)−f(xk)⏟≥−ε+f(xk)−f(xk+1)⏟≥−ε≥−2εf_n(x) - f(x) \geq f_n(x_k) - f(x_{k+1}) = \underbrace{f_n(x_k) - f(x_k)}_{\geq -\varepsilon} + \underbrace{f(x_k) - f(x_{k+1})}_{\geq -\varepsilon} \geq -2\varepsilon
    Ainsi, pour tout x∈[0,1]x \in [0, 1] et tout n≥Nn \geq N :
    ∣fn(x)−f(x)∣≤2ε|f_n(x) - f(x)| \leq 2\varepsilon
    Ce qui prouve que :
    lim⁡n→+∞∥fn−f∥∞=0\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \|f_n - f\|_{\infty} = 0 }

Oublier d'utiliser la monotonie pour l'encadrement sur chaque intervalle de la subdivision.

Second théorème de Dini : convergence simple + fonctions monotones + limite continue sur un segment => convergence uniforme.