Opérateurs d'inf-convolution et points fixes

Soit $E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ l'espace des fonctions réelles continues sur $[0,1]$ . On considère deux opérateurs $T$ et $U$ définis sur $E$ par :

\forall f \in E, \forall x \in [0,1],   Tf(x) = \inf_{y \in [0,1]} \left\{ f(y) + (x-y)^2 \right\}

\forall f \in E, \forall x \in [0,1],   Uf(x) = \inf_{y \in [0,1]} \left\{ f(y) + |x-y| \right\}

Étude de l'opérateur quadratique $T$ $T$ :
1. Montrer que pour toute fonction $f \in E$ , $Tf$ appartient à $E$ . On pourra montrer que $Tf$ est lipschitzienne.
2. Déterminer l'ensemble des points fixes de l'opérateur $T$ .
3. Soit $f \in E$ . On définit la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par $f_0 = f$ et $f_{n+1} = T(f_n)$ . Étudier la convergence uniforme de la suite $(f_n)$ vers une fonction que l'on précisera en fonction de $f$ .
Étude de l'opérateur lipschitzien $U$ $U$ :
1. Montrer que pour toute fonction $f \in E$ , $Uf$ est continue.
2. Déterminer l'ensemble des points fixes de $U$ .
3. Montrer que l'opérateur $U$ est idempotent, c'est-à-dire que $U \circ U = U$ .

1.

Pour la continuité, utiliser l'inégalité triangulaire inversée sur l'infimum : $|\inf A - \inf B| \leq \sup |A-B|$ .

2.

Un point fixe pour $T$ vérifie $f(x) - f(y) \leq (x-y)^2$ . Penser au taux d'accroissement.

3.

Pour la convergence de $T^n f$ , introduire $\gamma = \min f$ et montrer par récurrence que $f_n(x) \leq \gamma + \beta_n (x-x_0)^2$ avec $\beta_n \to 0$ .

4.

Pour $U$ , un point fixe est une fonction dont les variations sont contrôlées par la distance $|x-y|$ .

Idées clés

•

Propriété de l'infimum : $|\inf_{y} g(x,y) - \inf_{y} h(x,y)| \leq \sup_{y} |g(x,y) - h(x,y)|$ .

•

Caractérisation des fonctions constantes par la dérivée nulle.

•

Étude d'une suite de fonctions via un encadrement et une suite réelle auxiliaire.

1. Étude de l'opérateur $T$

Soit $f \in E$ et $x, x' \in [0,1]$ . Pour tout $y \in [0,1]$ , posons $g(x,y) = f(y) + (x-y)^2$ . On a : $|g(x,y) - g(x',y)| = |(x-y)^2 - (x'-y)^2| = |x-x'| \cdot |x+x'-2y|$ Comme $x, x', y \in [0,1]$ , on a $|x+x'-2y| \leq 2$ . Ainsi : $|g(x,y) - g(x',y)| \leq 2|x-x'|$ Par propriété de l'infimum, il vient $|Tf(x) - Tf(x')| \leq 2|x-x'|$ .

$\boxed{Tf \text{ est 2-lipschitzienne sur } [0,1], \text{ donc } Tf \in E.}$
Soit $f$ un point fixe de $T$ . Alors pour tout $x \in [0,1]$ , $f(x) = \inf_{y \in [0,1]} \{ f(y) + (x-y)^2 \}$ . Cela implique $f(x) \leq f(y) + (x-y)^2$ pour tout $y \in [0,1]$ . En échangeant $x$ et $y$ , on obtient $|f(x) - f(y)| \leq (x-y)^2$ . Pour $x \neq y$ , on a $0 \leq \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right| \leq |x-y|$ . En faisant tendre $y$ vers $x$ , on en déduit que $f$ est dérivable en tout point $x \in [0,1]$ et que $f'(x) = 0$ .

$\boxed{\text{Les points fixes de } T \text{ sont les fonctions constantes.}}$
Soit $\gamma = \min_{t \in [0,1]} f(t)$ et $x_0$ un point tel que $f(x_0) = \gamma$ . On remarque que pour tout $n$ , $f_n \geq \gamma$ par construction (l'infimum d'une somme de termes supérieurs à $\gamma$ et $0$ ). D'autre part, $f_1(x) = \inf_y (f(y) + (x-y)^2) \leq f(x_0) + (x-x_0)^2 = \gamma + (x-x_0)^2$ . Montrons par récurrence que $f_n(x) \leq \gamma + \beta_n (x-x_0)^2$ avec $\beta_1 = 1$ et $\beta_{n+1} = \frac{\beta_n}{1+\beta_n}$ . Supposons le résultat au rang $n$ . Alors : $f_{n+1}(x) \leq \inf_{y \in [0,1]} \{ \gamma + \beta_n(y-x_0)^2 + (x-y)^2 \}$ Le minimum sur $\mathbb{R}$ de $h(y) = \beta_n(y-x_0)^2 + (x-y)^2$ est atteint en $y^* = \frac{\beta_n x_0 + x}{1+\beta_n}$ , qui appartient bien à $[0,1]$ car c'est un barycentre de $x_0, x \in [0,1]$ . La valeur du minimum est $h(y^*) = \frac{\beta_n}{1+\beta_n}(x-x_0)^2$ . Ainsi $f_{n+1}(x) \leq \gamma + \beta_{n+1}(x-x_0)^2$ . La suite $\beta_n = \frac{1}{n}$ converge vers $0$ . On en conclut que $\gamma \leq f_n(x) \leq \gamma + \frac{1}{n}$ .

$\boxed{(f_n) \text{ converge uniformément vers la constante } \gamma = \min_{[0,1]} f.}$

2. Étude de l'opérateur $U$

De la même manière qu'au 1.(a), pour tout $y$ , $| |x-y| - |x'-y| | \leq |x-x'|$ . L'opérateur $U$ préserve le caractère lipschitzien. $\boxed{Uf \text{ est 1-lipschitzienne, donc continue.}}$
$f$ est point fixe de $U$ ssi $\forall x, y \in [0,1], f(x) \leq f(y) + |x-y|$ . Ceci équivaut à $\forall x, y \in [0,1], |f(x) - f(y)| \leq |x-y|$ . $\boxed{\text{Les points fixes de } U \text{ sont les fonctions 1-lipschitziennes.}}$
D'après 2.(a), pour toute fonction $f \in E$ , $Uf$ est 1-lipschitzienne. D'après 2.(b), toute fonction 1-lipschitzienne est un point fixe de $U$ . $\boxed{\text{Par conséquent, } U(Uf) = Uf, \text{ soit } U^2 = U.}$

Vérification de la réciproque pour les points fixes et manipulation des infimums.

L'inf-convolution régularise les fonctions et possède des propriétés de contraction.