Intégrale de Laplace et convergence dominée

Soit $a$ un paramètre réel tel que $a > -1$ . Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$ , on considère l'intégrale suivante :

I_n = \int_0^{+\infty} x^a e^{-nx}   \mathrm{d}x

Justifier soigneusement la convergence de l'intégrale $I_n$ pour tout $n \geqslant 1$ .
Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)_{n \geqslant 1}$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f_n(x) = x^a e^{-nx}$ .
En déduire la limite de la suite $(I_n)_{n \geqslant 1}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .

1.

Pour la convergence, examinez les problèmes aux bornes $0$ et $+\infty$ en utilisant des équivalents ou des croissances comparées.

2.

Pour la limite, le théorème de convergence dominée est l'outil privilégié. Cherchez une fonction dominante indépendante de $n$ , par exemple en utilisant le caractère décroissant de $n \mapsto e^{-nx}$ .

Idées clés

•

Étude d'intégrabilité (critères de Riemann et croissances comparées).

•

Théorème de convergence dominée (TCD).

•

Domination par le premier terme pour une suite décroissante de fonctions positives.

Résolution.

Étude de l'intégrabilité : Soit $n \in \mathbb{N}^*$ fixé. La fonction $f_n : x \mapsto x^a e^{-nx}$ est continue et positive sur $]0, +\infty[$ . Au voisinage de $0$ : On a l'équivalent $f_n(x) \sim_0 x^a$ . D'après le critère de Riemann, la fonction est intégrable au voisinage de $0$ si et seulement si $-a < 1$ , ce qui équivaut à la condition donnée : $\boxed{ a > -1 }$ Au voisinage de $+\infty$ : Par croissance comparée, puisque $n > 0$ , on sait que $x^2 f_n(x) = x^{a+2} e^{-nx} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$ . Ainsi, on a $f_n(x) = o \left( \frac{1}{x^2} \right)$ au voisinage de $+\infty$ . Comme $x \mapsto 1/x^2$ est intégrable sur $[1, +\infty[$ , la fonction $f_n$ est intégrable au voisinage de $+\infty$ . Conclusion : $\boxed{\text{L'intégrale } I_n \text{ converge pour tout } n \in \mathbb{N}^*.}$
Convergence simple : Soit $x \in ]0, +\infty[$ . Comme $n \to +\infty$ et $x > 0$ , alors $-nx \to -\infty$ . Par croissance comparée de l'exponentielle : $\lim_{n \to +\infty} x^a e^{-nx} = 0$ La suite de fonctions $(f_n)$ converge donc simplement vers la fonction nulle sur $]0, +\infty[$ .
Calcul de la limite par convergence dominée : Vérifions les hypothèses du théorème de convergence dominée :
- Chaque $f_n$ est continue par morceaux sur $]0, +\infty[$ .
- La suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle, qui est continue par morceaux.
- Hypothèse de domination : Pour tout $n \geqslant 1$ et pour tout $x \in ]0, +\infty[$ , on a $nx \geqslant x$ . Par décroissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ : $e^{-nx} \leqslant e^{-x}$ Comme $x^a > 0$ , on en déduit : $\forall n \in \mathbb{N}^*, \forall x \in ]0, +\infty[, |f_n(x)| \leqslant x^a e^{-x}$ Posons $\phi(x) = x^a e^{-x}$ . D'après la question 1 (cas $n=1$ ), $\phi$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ .
Toutes les hypothèses étant réunies, le théorème de convergence dominée s'applique :
$\lim_{n \to +\infty} I_n = \int_0^{+\infty} 0 \mathrm{d}x$
D'où le résultat final :
$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} I_n = 0 }$

Oublier de justifier la domination par une fonction intégrable indépendante de n.

Utiliser le premier terme d'une suite monotone pour la domination dans le TCD.