Équation cohomologique sur un compact

Résolution.

1. Commençons par remarquer que pour tout $a \in X$, l'ensemble $\overline{\{f^n(a) : n \in \mathbb{N}\}}$ est un compact non vide stable par $f$. Par l'hypothèse de minimalité (i), cet ensemble est égal à $X$. Ainsi, l'orbite de tout point est dense dans $X$. Soit $x \in X$. Par densité, il existe une application strictement croissante $\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que $f^{\sigma(m)}(x_0) \xrightarrow[m \to \infty]{} x$. Pour $n \in \mathbb{N}$ fixé, par continuité de $g$ et de $f$, on a :
   $$\sum_{i=0}^n g(f^i(x)) = \lim_{m \to \infty} \sum_{i=0}^n g(f^i(f^{\sigma(m)}(x_0)))$$
   Or, la somme dans le membre de droite se réécrit comme une différence de sommes de Birkhoff en $x_0$ :
   $$\sum_{i=0}^n g(f^{i+\sigma(m)}(x_0)) = \sum_{k=0}^{n+\sigma(m)} g(f^k(x_0)) - \sum_{k=0}^{\sigma(m)-1} g(f^k(x_0))$$
   Par l'hypothèse (ii), chacune de ces deux sommes est majorée en valeur absolue par $M$. Par l'inégalité triangulaire :
   $$\left| \sum_{i=0}^{n+\sigma(m)} g(f^k(x_0)) - \sum_{k=0}^{\sigma(m)-1} g(f^k(x_0)) \right| \leq M + M = 2M$$
   En passant à la limite quand $m \to \infty$, on obtient bien :
   $$\boxed{ \left| \sum_{i=0}^n g(f^i(x)) \right| \leq 2M }$$

2. Existence : Notons $S_n(x) = \sum_{i=0}^{n-1} g(f^i(x))$ avec $S_0 = 0$. On a $F^n(x, 0) = (f^n(x), S_n(x))$. D'après la question 1, $K_x$ est inclus dans le compact $X \times [-2M, 2M]$, donc $K_x$ est compact. Considérons une extraction $\ell$ telle que $f^{\ell(k)}(x) \to y$. La suite $(S_{\ell(k)}(x))_k$ est bornée, donc admet une valeur d'adhérence $s \in \mathbb{R}$ via une sous-extraction. On a alors $(y, s) \in K_x$. Comme $F$ et $T_s$ commutent ($T_s \circ F = F \circ T_s$), et que $K_x$ est stable par $F$ et fermé, on montre que $T_s(K_y) \subset K_x$. En effet, $F^n(y, s) = T_s(F^n(y, 0))$ et $(y, s) \in K_x$ implique que toute son orbite et l'adhérence de celle-ci sont dans $K_x$. Unicité : Si $T_s(K_y) \subset K_x$ et $T_{s'}(K_y) \subset K_x$, alors par un argument de symétrie (en échangeant $x$ et $y$), il existe $t$ tel que $T_t(K_x) \subset K_y$. Alors $T_{s+t}(K_y) \subset K_y$. Si $s+t \neq 0$, les itérés $T_{n(s+t)}(K_y)$ ne resteraient pas dans un compact fixe, ce qui contredit le caractère borné de la seconde composante de $K_y$. Ainsi $s+t=0$, et on montre de même l'unicité de $s$ tel que $T_s(K_y) = K_x$.
   $$\boxed{ \exists ! s \in \mathbb{R},   T_s(K_y) = K_x }$$

3. Soit $x \in X$ fixé. Pour chaque $y \in X$, la question précédente assure l'existence d'un unique $s_y$ tel que $T_{s_y}(K_y) = K_x$. Comme $(y, 0) \in K_y$, on a $(y, s_y) \in K_x$. S'il existait un autre $s'$ tel que $(y, s') \in K_x$, alors par stabilité, on aurait $T_{s'}(K_y) \subset K_x$, d'où $s'=s_y$ par unicité. Ainsi, pour tout $y \in X$, il existe un unique $s \in \mathbb{R}$ tel que $(y, s) \in K_x$. Cela signifie que $K_x$ est le graphe d'une fonction $\varphi : X \to \mathbb{R}$. Comme $K_x$ est un fermé du compact $X \times [-2M, 2M]$, le théorème du graphe fermé garantit que $\varphi$ est continue sur $X$.
   $$\boxed{ K_x = \text{Gr}(\varphi) \text{ avec } \varphi \in \mathcal{C}(X, \mathbb{R}) }$$

4. Par définition de $K_x$, si $(y, \varphi(y)) \in K_x$, alors son image par $F$ est aussi dans $K_x$ car $K_x$ est stable par $F$. On a $F(y, \varphi(y)) = (f(y), g(y) + \varphi(y))$. Puisque ce point appartient à $K_x = \text{Gr}(\varphi)$, sa seconde composante doit être égale à $\varphi$ appliquée à sa première composante :
   $$\varphi(f(y)) = g(y) + \varphi(y)$$
   Ceci étant vrai pour tout $y \in X$, on a bien établi l'existence de $\varphi$ telle que :
   $$\boxed{ \varphi \circ f - \varphi = g }$$