Uniformité et continuité intégrale

Résolution.

1. Soit $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $[0,1]$ convergeant vers $a \in [0,1]$. Le domaine $D = [0,1] \times [0,1]$ est un produit de segments, c'est donc un compact de $\mathbb{R}^2$. Puisque $f$ est continue sur ce compact, le théorème de Heine assure que $f$ est uniformément continue sur $D$. Soit $\varepsilon > 0$. Par définition de l'uniforme continuité, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $(x, y)$ et $(x', y')$ dans $D$ :
   $$\|(x, y) - (x', y')\|_{\infty} < \delta \implies |f(x, y) - f(x', y')| < \varepsilon$$
   Puisque $x_n \to a$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, on a $|x_n - a| < \delta$. Fixons $n \geq N$. Alors pour tout $y \in [0,1]$, en considérant les couples $(x_n, y)$ et $(a, y)$, on a :
   $$\|(x_n, y) - (a, y)\|_{\infty} = \max(|x_n - a|, |y - y|) = |x_n - a| < \delta$$
   On en déduit que pour tout $n \geq N$ et pour tout $y \in [0,1]$ :
   $$|f(x_n, y) - f(a, y)| < \varepsilon$$
   Cela signifie que :
   $$\forall n \geq N,   \sup_{y \in [0,1]} |f_n(y) - f_a(y)| \leq \varepsilon$$
   On a donc prouvé la convergence uniforme :
   $$\boxed{ f_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\text{unif}} f_a \text{ sur } [0,1] }$$

2. Pour montrer que $\Phi$ est continue sur $[0,1]$, utilisons la caractérisation séquentielle. Soit $(x_n)$ une suite de $[0,1]$ convergeant vers $a \in [0,1]$. D'après la question précédente, la suite de fonctions $f_n : y \mapsto f(x_n, y)$ converge uniformément vers $f_a : y \mapsto f(a, y)$ sur le segment $[0,1]$. De plus, chaque fonction $f_n$ est continue sur $[0,1]$ (car $f$ est continue sur le carré). D'après le théorème de permutation limite-intégrale sur un segment pour la convergence uniforme, on a :
   $$\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} f_n(y)   \mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \left( \lim_{n \to +\infty} f_n(y) \right)   \mathrm{d}y$$
   Ce qui s'écrit :
   $$\lim_{n \to +\infty} \Phi(x_n) = \int_{0}^{1} f(a, y)   \mathrm{d}y = \Phi(a)$$
   La suite $(\Phi(x_n))$ converge vers $\Phi(a)$ pour toute suite $(x_n)$ convergeant vers $a$.
   $$\boxed{ \Phi \text{ est continue en tout point } a \in [0,1] }$$