Étude d'une série de fonctions hyperboliques

Résolution.

1. Domaine de définition. Soit $x \in \mathbb{R}$. Posons $u_n(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cosh(nx)}$. Si $x = 0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n(0) = 0$. La série converge et $f(0) = 0$. Si $x \neq 0$, par parité du cosinus hyperbolique, on peut supposer $x > 0$. On a $\cosh(nx) = \frac{e^{nx} + e^{-nx}}{2} \sim \frac{e^{n|x|}}{2}$ quand $n \to +\infty$. Ainsi, $u_n(x) \sim 2\sin^2(x) e^{-n|x|}$. Comme $|e^{-|x|}| < 1$, il s'agit du terme général d'une série géométrique convergente. Par comparaison de séries à termes positifs, la série converge absolument.
   $$\boxed{\mathcal{D}_f = \mathbb{R}}$$

2. Convergence uniforme sur $[\alpha, +\infty[$. Soit $\alpha > 0$. Pour tout $x \in [\alpha, +\infty[$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
   $$0 < \frac{1}{\cosh(nx)} \leqslant \frac{1}{\cosh(n\alpha)}$$
   Or $\frac{1}{\cosh(n\alpha)} \sim 2e^{-n\alpha}$, qui est le terme général d'une série convergente. La série de fonctions $\sum_{n \geqslant 0} \frac{1}{\cosh(nx)}$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur $[\alpha, +\infty[$. Comme $x \mapsto \sin^2(x)$ est bornée sur $\mathbb{R}$, le produit par $\sin^2(x)$ conserve la convergence uniforme.
3. Continuité sur $\mathbb{R$^*.} Chaque fonction $u_n : x \mapsto \frac{\sin^2(x)}{\cosh(nx)}$ est continue sur $\mathbb{R}$. La série converge uniformément sur tout intervalle $[\alpha, +\infty[$ pour $\alpha > 0$. Par le théorème de continuité des séries de fonctions, $f$ est continue sur $[\alpha, +\infty[$ pour tout $\alpha > 0$, donc sur $]0, +\infty[$. Par parité de $f$ (car $\sin^2$ et $\cosh$ sont paires) :
   $$\boxed{f \text{ est continue sur } \mathbb{R}^*}$$

4. Étude de la continuité en 0. Soit $x > 0$. On considère la fonction $g : t \mapsto \frac{1}{\cosh(tx)}$. Elle est continue, positive et strictement décroissante sur $[0, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_1^{+\infty} g(t)   \mathrm{d}t \leqslant \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\cosh(nx)} \leqslant \int_0^{+\infty} g(t)   \mathrm{d}t$$
   Calculons l'intégrale $J(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\cosh(tx)}$. Par le changement de variable $u = tx$ ($\mathrm{d}u = x \mathrm{d}t$) :
   $$J(x) = \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{\cosh u} = \frac{1}{x} \left[ 2\arctan(e^u) \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{x} \left( \pi - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2x}$$
   On a donc $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\cosh(nx)} = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\cosh(nx)}$, d'où :
   $$\frac{\sin^2 x}{x} \int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{\cosh u} + \sin^2 x \leqslant f(x) \leqslant \frac{\pi \sin^2 x}{2x} + \sin^2 x$$
   Au voisinage de $0$, $\sin^2 x \sim x^2$ et $\frac{\pi \sin^2 x}{2x} \sim \frac{\pi x}{2}$. L'encadrement devient :
   $$x^2 \times O\left(\frac{1}{x}\right) \leqslant f(x) \leqslant \frac{\pi x}{2} + o(x)$$
   Par le théorème des gendarmes, on en déduit :
   $$\boxed{\lim_{x \to 0} f(x) = 0}$$
   Comme $f(0) = 0$, la fonction $f$ est continue en $0$.
   $$\boxed{f \text{ est continue sur } \mathbb{R}}$$